最短路径问题在近三年成都中考中都占了重要地位，都是在大题中结合题目的背景进行综合考查，重在考查学生对知识应用能力．考查的基本类型有：线段和最小、差最大、多条线段和最小、点到点的距离与点到直线距离之和最小、多条线路上速度不同时的最短时间问题，这些问题大多是利用数形结合、转化思想将问题转化为两点间线段最短或者垂线段最短来加以解决
模型一：在如图所示的平面直角坐标系中， A点的坐标为( 0， 3)， B点的坐标为( 6， 5)．
( 1)从 x轴上取一点 P，使其到 A， B两点距离之和最小，则 P点的坐标为________，最小值为________．
( 2)从 x轴上取一点 P，使| PA－ PB|最大，则 P点的坐标为________，最大值为________．
分析：
( 1)作 A点关于 x轴的对称点 C，连接 BC交 x轴于点 P，则此时 AP＋ BP最小．
∵ A点的坐标为( 0， 3)， B点的坐标为( 6， 5)，
∴ C( 0，－ 3)．设直线 BC的解析式为 y＝ kx－ 3，
把 B点的坐标代入解析式，得 5＝ 6 k－ 3， k＝
即直线 BC的解析式为 y＝ x－ 3.
当 y＝ 0时， 0＝ x－ 3，解得 x＝
∴ P点的坐标是（， 0），到 A， B两点距离之和的最小值是 BC的长， BC＝ 10.
( 2)连接 AB，并延长 BA交 x轴于点 P′.
∵ A点的坐标为( 0， 3)， B点的坐标为( 6， 5)，
∴ AB的解析式为 y＝
x＋ 3.
当 y＝ 0时， 0＝ x＋ 3，解得 x＝－ 9.
∴ P′(－ 9， 0)．
∴| PA－ PB|的最大值是 AB的长为
.
模型二：如图，∠ AOB＝ 45°， P是∠ AOB内一点， PO＝ 10， Q， R分别是 OA， OB上的动点，则△ PQR周长的最小值为_______
分析：如图，作出点 P关于 OA的对称点 M，作出点 P关于 OB的对称点 N，连接 MN，交 OA于点 Q，交 OB于点 R.连接 PQ， PR， PM， PN， OM， ON.此时△ PQR周长最小，则 PQ＝ MQ， PR＝ RN.则△ PQR的周长＝ PQ＋ QR＋ PR＝ MQ＋ QR＋ RN＝ MN.
∵∠ AOP＝∠ AOM，∠ POB＝∠ NOB，
∠ AOB＝∠ AOP＋∠ POB＝ 45°，
∴∠ MON＝ 90°.
又∵ OM＝ OP， ON＝ OP，
∴ OM＝ ON＝ 10.即△ MON是等腰直角三角形．
∴ MN＝
OM＝ 10，
∴△ PQR的周长的最小值为 10.
模型三、已知直线 l 1和 l 2交于 M点，夹角为 30°.点 A在 l 1上且 AM＝ 10， P是 l 2上一动点，则 P点到 A点的距离与到直线 l 1的距离之和的最小值为________．
分析：
过点 P作 PQ⊥ l 1于点 Q，作 l 1关于 l 2的对称直线 l 3作 PQ关于 l 2对称的线段 PQ 1.
则 PQ＋ AP的最小值即为 AP＋ PQ 1的最小值．
过 A点作 AQ 2⊥ l 3于点 Q 2，则最小值为 AQ 2的长．
∵∠ AMP＝ 30°，∴∠ QMQ 1＝ 60°.
∵ AM＝ 10，∴ AQ 2＝ 5
即 PQ＋ AP的最小值为 5.
模型 4：如图，△ ABC中，∠ BAC＝ 60°，∠ ABC＝ 45°， AB＝ 2， D是线段 BC上的一个动点，以 AD为直径画⊙ O分别交 AB， AC于点 E， F，连接 EF，则 EF的最小值是________．
分析：由垂线段的性质可知，当 AD为△ ABC的边 BC上的高时，直径 AD最短．如图，连接 OE， OF，过 O点作 OH⊥ EF，垂足为点 H，
∵在 Rt△ ADB中，∠ ABC＝ 45°， AB＝ 2，
∴ AD＝ BD＝ 2，即此时圆的直径为 2.
由圆周角定理可知∠ EOH＝
∠ EOF＝∠ BAC＝ 60°，
∴在 Rt△ EOH中， EH＝ OE· sin∠ EOH＝ 1×
＝
由垂径定理可知 EF＝ 2 EH＝.
例 1、如图，抛物线 y＝－ x 2＋ bx＋ c与 x轴交于 A( 1， 0)， B(－ 3， 0)两点．
( 1)求该抛物线的解析式；
( 2)设( 1)中的抛物线交 y轴于 C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△ QAC的周长最小？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：( 1)将点 A，点 B的坐标代入可求出 b， c的值，继而可得出该抛物线的解析式；( 2)连接 BC，则 BC与对称轴的交点，即是点 Q的位置，求出直线 BC的解析式后，可得出点 Q的坐标．
解：( 1)把 A( 1， 0)， B(－ 3， 0)代入抛物线解析式可得
解得
.
故抛物线的解析式为
y＝－ x 2－ 2 x＋ 3＝－( x＋ 1) 2＋ 4.
( 2)存在．由题意，得点 B与点 A关于抛物线的对称轴直线 x＝－ 1对称，连接 BC，则 BC与抛物线对称轴的交点是点 Q的位置．
设直线 BC解析式为 y＝ kx＋ b，把 B(－ 3， 0)， C( 0， 3)代入，
得
解得
则直线 BC的解析式为 y＝ x＋ 3.
令 Q x＝－ 1，得 Q y＝ 2.
故点 Q的坐标为(－ 1， 2)
变式练习
1、如图所示，抛物线 y＝ ax 2＋ bx＋ c交 x轴于 A， B两点，交 y轴于点 C，已知抛物线的对称轴为 x＝ 1， B( 3， 0)， C( 0，－ 3)．
( 1)求二次函数 y＝ ax 2＋ bx＋ c的解析式；
( 2)在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使点 P到 B， C两点距离之差最大？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：
( 1)将 B， C的坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程，即可求得该抛物线的解析式；
( 2)由于 A， B关于抛物线的对称轴对称，若点 P到 B， C的距离差最大，那么点 P到 A， C的距离差最大，所以 P点必为直线 AC与抛物线对称轴的交点，可先求出直线 AC的解析式，联立抛物线对称轴方程，即可得到点 P的坐标．
解：( 1)将 C( 0，－ 3)代入 y＝ ax 2＋ bx＋ c，得 c＝－ 3.将 c＝－ 3， B( 3， 0)代入 y＝ ax 2＋ bx＋ c，得 9 a＋ 3 b－ 3＝ 0，∴ 3 a＋ b－ 1＝ 0. ①
∵ x＝ 1是对称轴，∴－
＝ 1.
∵ b＝－ 2 a，②
将②代入①，得 a＝ 1.∴ b＝－ 2.
∴二次函数的解析式是
y＝ x 2－ 2 x－ 3＝( x－ 3)( x＋ 1)．
( 2)∵点 P在抛物线的对称轴上，
又 A， B关于抛物线对称轴对称，∴ A(－ 1， 0)， PB＝ PA，即| PB－ PC|＝| PA－ PC|≤ AC.
∴ P， C， A三点共线时，点 P到 A， C两点距离之差最大，即点 P到 B， C两点距离之差最大．
∵ C点的坐标是( 0，－ 3)， A点的坐标是(－ 1， 0)，
∴直线 AC的解析式是 y＝－ 3 x－ 3.
又∵对称轴为 x＝ 1，∴点 P坐标是( 1，－ 6)．
例 2、如图，抛物线 y＝ ax 2＋ bx＋ c( a≠ 0)的顶点为 C( 1， 4)，交 x轴于 A， B两点，交 y轴于点 D，其中点 B的坐标为( 3， 0)．
( 1)求抛物线的解析式；
( 2)过点 A的直线与抛物线交于点 E，交 y轴于点 F，其中点 E的横坐标为 2，若直线 PQ为抛物线的对称轴，点 G为直线 PQ上的一动点，则 x轴上是否存在一点 H，使 D， G， H， F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点 G， H的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：( 1)利用待定系数法即可求得函数的解析式．
( 1)在 y轴的负半轴上取一点 I，使得点 F与点 I关于 x轴对称，在 x轴上取一点 H，连接 HF， HI， HG， GD， GE，则 HF＝ HI，只要使 DG＋ GH＋ HF最小即可． DG＋ GH＋ HF＝ EG＋ GH＋ HI，只有当 EI为一条直线时， EG＋ GH＋ HI最小，求得直线 EI的解析式，即可求解．
解：( 1)设所求抛物线的解析式为 y＝ a( x－ 1) 2＋ 4，将点 B( 3， 0)代入，得 a( 3－ 1) 2＋ 4＝ 0.解得 a＝－ 1，∴解析式为 y＝－( x－ 1) 2＋ 4.
( 2)如图，在 y轴的负半轴上取一点 I，使得点 F与点 I关于 x轴对称．在 x轴上取一点 H，连接 HF， HI， HG， GD， GE，则 HF＝ HI.令 y＝－( x－ 1) 2＋ 4＝ 0，得 x 1＝－ 1， x 2＝ 3.∴ A(－ 1， 0)， B( 3， 0)，点 D( 0， 3)．
又∵抛物线的对称轴为直线 x＝ 1，点 E坐标为( 2， 3)，∴点 D与点 E关于 PQ对称， GD＝ GE.
∴过 A， E两点的一次函数解析式为 y＝ x＋ 1.
∴当 x＝ 0时， y＝ 1.
∴点 F坐标为( 0， 1)，∴ DF＝ 2.
又∵点 F与点 I关于 x轴对称，
∴点 I坐标为( 0，－ 1)．
∴ EI＝ 2
又∵要使四边形 DFHG的周长最小，由于 DF是一个定值，
∴只要使 DG＋ GH＋ HF最小即可．
DG＋ GH＋ HF＝ EG＋ GH＋ HI.
只有当 EI为一条直线时， EG＋ GH＋ HI最小．
直线 EI的解析式为 y＝ 2 x－ 1.
∴当 x＝ 1时， y＝ 1；当 y＝ 0时， x＝.
∴点 G坐标为( 1， 1)，点 H坐标为（， 0）.
∴四边形 DFHG的周长最小为 DF＋ DG＋ GH＋ HF＝ DF＋ EI＝ 2＋ 2.
