路径轨迹问题在近五年的成都中考中都占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查对学生知识的应用能力．考查的基本类型有：利用轨迹求最值、判断轨迹并求轨迹的长，这些问题大都利用数形结合、转化思想，将几何问题转化为代数问题进行求解。

1．轨迹问题分类：( 1)直线型；( 2)圆弧型．

2．破解轨迹问题的方法：路径虽是“隐性”的，但可用“三点”这“ X光”显其形(即起点、过程点和终点三点确定其形状)，五步解决问题．

具体五步是：

一画：画出动点的起点、过程点和终点．

二看：观察三点是否在一直线上．

三猜想：在一直线上是线段，不在一直线上是圆弧．

四验证：线段型常用中位线或垂直平分线等知识解决；圆弧型常利用“对称性”和“ 90°的圆周角所对弦是直径”等知识确定圆心和半径．

五计算：常用勾股定理、相似三角形等知识进行求解。

例 1问题情境：

如图 1， P是⊙ O外的一点，直线 PO分别交⊙ O于点 A， B，则 PA是点 P到⊙ O上的点的最短距离．

①探究：

请您结合图 2给予证明．

②归纳：

圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离．

③图中有圆，直接运用：

如图 3，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ BC＝ 2，以 BC为直径的半圆交 AB于点 D， P是弧 CD上的一个动点，连接 AP，则 AP的最小值是________．

④图中无圆，构造运用：

如图 4，在边长为 2的菱形 ABCD中∠ A＝ 60°， M是 AD边的中点， N是 AB边上一动点，将△ AMN沿 MN所在的直线翻折得到△ A′ MN，连接 A′ C，请求出 A′ C长度的最小值．

解：由折叠知 A′ M＝ AM，又因 M是 AD的中点，可得 MA＝ MA′＝ MD，故点 A′在以 AD为直径的圆上．如图 5，以点 M为圆心， MA为半径画⊙ M，过 M作 MH⊥ CD，垂足为 H，(请继续完成下列解题过程)

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⑤迁移拓展，深化运用：

如图 6， E， F是正方形 ABCD的边 AD上两个动点，满足 AE＝ DF.连接 CF交 BD于点 G，连接 BE交 AG于点 H.若正方形的边长为 2，则线段 DH长度的最小值是________．

分析：①探究：在⊙ O上任取一点 C(不为点 A， B)，连接 PC， OC，证得 PA＜ PC即可得到 PA是点 P到⊙ O上的点的最短距离；③图中有圆，直接运用：找到 BC的中点 E，连接 AE，交半圆于 P₂，在半圆上取 P₁，连接 AP₁， EP₁，可见， AP₁＋ EP₁＞ AE，即 AP₂是 AP的最小值，再根据勾股定理求出 AE的长，然后减掉半径即可；

④图中无圆，构造运用：根据题意得 A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出 A′ C的长即可；

⑤迁移拓展，深化运用：根据正方形的性质可得 AB＝ AD＝ CD，∠ BAD＝∠ CDA，∠ ADG＝∠ CDG，然后利用“边角边”证明△ ABE和△ DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ ABE＝∠ FCD，利用“ ASA”证明△ ADG和△ CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ FCD＝∠ GAD，从而得到∠ ABE＝∠ GAD，然后求出∠ AHB＝ 90°，取 AB的中点 O，连接 OH， OD，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 OH＝ AB＝ 1，利用勾股定理列式求出 OD，然后根据三角形的三边 5关系可知当 O， D， H三点共线时， DH的长度最小．