二次函数中的特殊四边形在近五年成都中考中都以压轴题的形式出现，常考在二次函数上求点构成平行四边形、菱形、矩形和正方形等，其综合性和难度较大。

模型：如图，在平面直角坐标系中，已知 A( 3， 2)， B( 0， 0)， C( 4， 0)，在平面直角坐标系内找一点 D，使 A， B， C， D四点构成一个平行四边形．

方法一：平移法(几何法)．

当 BC∥ DA， BC＝ DA时，点 A和点 D的纵坐标相等， BC之间的距离为 4－ 0＝ 4.当点 D在点 A左边时，如答图 1，横坐标为 3－ 4＝－ 1，此时 D点坐标为(－ 1， 2)；当点 D在点 A右边时，如答图 2，横坐标为 ANOAHDIGITAL 10＋ ANOAHDIGITAL 11＝ ANOAHDIGITAL 12，此时 D点坐标为( ANOAHDIGITAL 13， ANOAHDIGITAL 14)．

当 AC∥ DB， AC＝ BD且 D点在 x轴下方时，如答图 3，由点 A平移到点 C是横坐标加 1，纵坐标减 2，那么由点 B平移到点 D也应如此移动： 0＋ 1＝ 1， 0－ 2＝－ 2，故此时 D点坐标为( 1，－ ANOAHDIGITAL 10)．

∴ D点坐标为(－ 1， 2)或( 7， 2)或( 1，－ 2)．

方法二：中点坐标公式法(代数法)．

点 D可以分别与点 A， B， C构成对角顶点．

①若点 D与点 A为对角顶点，则点 B与点 C为对角顶点，

∴

解得 D( 1，－ 2)．

同理，

②若点 D与点 B为对角顶点，可得 D( 7， 2)．

③若点 D与点 C为对角顶点，可得 D(－ 1， 2)．

综上所述， D点坐标为(－ 1， 2)或( 7， 2)或( 1，－ 2)．

例 1如图，抛物线 y＝－ x²＋ 2 x＋ 3与 x轴相交于 A， B两点(点 A在点 B左侧)，与 y轴相交于点 C，顶点为点 D.连接 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P为线段 BC上的一个动点，过点 P作 PF∥ DE交抛物线于点 F，点 P在线段 BC上移动的过程中设点 P的横坐标为 m，四边形 PEDF是否能成为平行四边形？

若能，求此时点 F的坐标；若不能，请说明理由．

根据抛物线解析式可求出 A， B， C的坐标．再求出直线 BC的解析式．当 x＝ m时，用 m表示出 PF的长度，再根据平行四边形的判定定理，得到关于 m的方程，即可求出 m，得到点 F的坐标．

解:由题意可求得 A(－ 1， 0)， B( 3， 0)， C( 0， 3)，抛物线的对称轴是 x＝ 1.

设直线 BC的解析式为 y＝ kx＋ b，把 B( 3， 0)， C( 0， 3)分别代入，得，

解得

∴直线 BC的解析式为 y＝－ x＋ 3.

当 x＝ 1时， y＝－ 1＋ 3＝ 2，∴ E( 1， 2)．

当 x＝ m时， y＝－ m＋ 3，∴ P( m，－ m＋ 3)．

在 y＝－ x²＋ 2 x＋ 3中，

当 x＝ 1时， y＝ 4，∴ D( 1， 4)．

当 x＝ m时， y＝－ m²＋ 2 m＋ 3，

∴ F( m，－ m²＋ 2 m＋ 3)．

∴ DE＝ 4－ 2＝ 2，

PF＝－ m²＋ 2 m＋ 3－(－ m＋ 3)＝－ m²＋ 3 m.

∵ PF∥ DE，

∴当 PF＝ ED时，四边形 PEDF为平行四边形．

由－ m²＋ 3 m＝ 2，解得 m₁＝ 2， m₂＝ 1(点 F与点 D重合，舍去)．

∴当 m＝ 2时，四边形 PEDF为平行四边形．

当 m＝ 2时，－ m²＋ 2 m＋ 3＝ 3，

∴ F( 2， 3)．

变式练习：

1、如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝ ax²－ 2 ax－ 3 a( a< 0)与 x轴交于 A， B两点(点 A在点 B的左侧)，经过点 A的直线 l： y＝ kx＋ b与 y轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD＝ 4 AC.

( 1)直接写出点 A的坐标，并求直线 l的函数表达式(其中 k， b用含 a的式子表示)；

( 2)设 P是抛物线对称轴上的一点，点 Q在抛物线上，以点 A， D， P， Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P的坐标；若不能，请说明理由．

分析：( 1)由抛物线 y＝ ax²－ 2 ax－ 3 a( a< 0)与 x轴交于两点 A， B，求得 A点的坐标，作 DF⊥ x轴于点 F，根据平行线分线段成比例定理求得点 D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线 l的函数表达式；( 2)分以 AD为边， AD为对角线两种情况利用矩形的性质确定点 P的坐标即可．

解：( 1)令 y＝ 0，则 ax²－ 2 ax－ 3 a＝ 0.

解得 x₁＝－ 1， x₂＝ 3.

∵点 A在点 B的左侧，∴ A(－ 1， 0)．

如图 1，作 DF⊥ x轴于点 F.

∴ DF∥ OC.∴

∵ CD＝ 4 AC，∴＝ 4.

∵ OA＝ 1，∴ OF＝ 4.∴ D点的横坐标为 4.

代入 y＝ ax²－ 2 ax－ 3 a，得 y＝ 5 a.∴ D( 4， 5 a)．

把点 A， D的坐标代入 y＝ kx＋ b，得

，解得

∴直线 l的函数表达式为 y＝ ax＋ a.

( 2)∵ y＝ ax²－ 2 ax－ 3 a，

∴抛物线的对称轴为 x＝ 1.

设 P( 1， m)，①若 AD是矩形的一条边，如答图 2.

由 AQ∥ DP知 x_D－ x_P＝ x_A－ x_Q，可知 Q点横坐标为－ 4，将 x＝－ 4代入抛物线方程得 Q(－ 4， 21 a)，

m＝ y_D＋ y_Q＝ 21 a＋ 5 a＝ 26 a，则 P( 1， 26 a)，

∵四边形 ADPQ为矩形，∴∠ ADP＝ 90°.

∴ AD²＋ PD²＝ AP².

∵ AD²＝[ 4－(－ 1)]²＋( 5 a)²，

PD²＝( 1－ 4)²＋( 26 a－ 5 a)²，

AP²＝(－ 1－ 1)²＋( 26 a)²，

∴[ 4－(－ 1)]²＋( 5 a)²＋( 1－ 4)²＋( 26 a－ 5 a)²＝(－ 1－ 1)²＋( 26 a)²，

即 a²＝

∵ a< 0，∴ a＝－

∴ P₁（ 1，）

②若 AD是矩形的一条对角线，如答图 3.

则线段 AD的中点坐标为， Q( 2，－ 3 a)，

m＝ 5 a－(－ 3 a)＝ 8 a，则 P( 1， 8 a)．

∵四边形 ADPQ为矩形，∴∠ APD＝ 90°.

∴ AP²＋ PD²＝ AD².

∵ AP²＝[ 1－(－ 1)]²＋( 8 a)²＝ 2²＋( 8 a)²，

PD²＝( 4－ 1)²＋( 8 a－ 5 a)²＝ 3²＋( 3 a)²，

AD²＝[ 4－(－ 1)]²＋( 5 a)²＝ 5²＋( 5 a)²，

∴ 2²＋( 8 a)²＋ 3²＋( 3 a)²＝ 5²＋( 5 a)²，

解得 a²＝.

∵ a< 0，∴ a＝－.

∴ P₂( 1，－ 4)．

综上可得， P点的坐标为 P₁（ 1，）， P₂( 1，－ 4)．

2、如图所示，顶点为（，-）的抛物线 y＝ ax²＋ bx＋ c过点 M( 2， 0)．

( 1)求抛物线的解析式；

( 2)点 A是抛物线与 x轴的交点(不与点 M重合)，点 B是抛物线与 y轴的交点，点 C是直线 y＝ x＋ 1上一点(处于 x轴下方)，点 D是反比例函数 y＝( k＞ 0)图象上一点，若以点 A， B， C， D为顶点的四边形是菱形，求 k的值．

分析：( 1)设抛物线方程为顶点式 y＝将点 M的坐标代入求 a的值即可；

( 2)设直线 y＝ x＋ 1与 y轴交于点 G，易求 G( 0， 1)．则直角△ AOG是等腰直角三角形，∠ AGO＝ 45°.点 C是直线 y＝ x＋ 1上一点(处于 x轴下方)，而 k＞ 0，所以反比例函数 y＝( k＞ 0)图象位于第一、三象限．故点 D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下 2种情况：