二次函数部分在中考中占有重要地位，其中特殊三角形的存在性问题是二次函数中的难点，重在考查学生的理解迁移能力．基本的考查类型为等腰三角形、直角三角形以及等腰直角三角形的存在性问题，这些问题大多可以利用代数的方法通过线段的长度问题来解决，但是代数方法的计算量大，容易出错，在实际中也可以根据具体图形的特征，利用几何和代数相结合的方法来解

模型：已知抛物线 y＝ ax²＋ bx＋ c经过 A(－ 2， 0)， B( 4， 0)， C( 0， 3)三点．在 y轴上是否存在点 M，使△ ACM为等腰三角形？请说明理由．

分析：方法一：直接用代数的方法讨论线段相等的情况．

设点 M( 0， y)，则有 AM＝， CM＝| 3－ y|， AC＝.

当 AM＝ AC时，解得 y₁＝－ 3， y₂＝ 3(舍去)． M₁( 0， -3)．

当 AM＝ CM时，解得 y＝ M₂（ 0，）

当 CM＝ AC时，解得 y₁＝ 3＋， y₂＝ 3－ M₃( 0， 3＋)， M₄( 0， 3－)．

方法二：利用等腰三角形的性质解题．如图，作线段 CA的垂直平分线，交 y轴于点 M₁，交 AC于点 N，连接 AM₁，则△ AM₁ C是等腰三角形．当 AM₁＝ CM₁时，

∵ AC＝＝，∴ CN＝.

∵△ CNM₁∽△ COA，

∴.

∴ CM₁＝.

∴ OM₁＝ OC－ CM₁＝ 3－＝.

∴ M₁的坐标是( 0,)

当 CA＝ CM₂＝时，则△ AM₂ C是等腰三角形，则 OM₂＝ 3＋ M₂的坐标是( 0， 3＋)．

当 CA＝ AM₃＝时，则△ AM₃ C是等腰三角形，则 OM₃＝ 3. M₃的坐标是( 0，－ 3)．

当 CA＝ CM₄＝时，则△ AM₄ C是等腰三角形，则 OM₄＝ -3， M₄的坐标是( 0， 3－)

例 1、( 2017·郴州)如图，已知抛物线 y＝ ax²＋ x＋ c与 x轴交于 A， B两点，与 y轴交于点 C，且 A( 2， 0)， C( 0，－ 4)，直线： y＝－ x－ 4与 x轴交于点 D，点 P是抛物线 y＝ ax²＋ x＋ c上的一动点，过点 P作 PE⊥ x轴，

垂足为点 E，交直线于点 F.

( 1)试求该抛物线的表达式；

( 2)如图 1，点 P在第三象限，四边形 PCOF是平行四边形，求 P点的坐标；

( 3)如图 2，过点 P作 PH⊥ y轴，垂足为 H，连接 AC.

①求证：△ ACD是直角三角形；

②试问当 P点横坐标为何值时，使得以点 P， C， H为顶点的三角形与△ ACD相似？

分析：( 1)将点 A和点 C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于 a， c的方程组，然后解方程组求得 a， c的值即可；

( 2)设出 P， F点坐标，当 PF＝ OC时，四边形 PCOF是平行四边形，然后依据 PF＝ OC列方程求解即可；

( 3)①先求得点 D的坐标，然后再求得 AC， DC， AD的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；②分为△ ACD∽△ CHP、△ ACD∽△ PHC两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可．

【解】( 1)由题意，得

解得

∴抛物线的表达式为 y＝ x²＋ x－ 4

( 2)设 P（ m,），则 F（ m，）

PF=-()＝－ m²－ m.

∵ PE⊥ x轴，∴ PF∥ OC.

∴当 PF＝ OC时，四边形 PCOF是平行四边形．

即－ m²－ m＝ 4，解得 m＝－或 m＝－ 8.

∴点 P的坐标为或(－ 8，－ 4)．

( 3)①证明：把 y＝ 0代入 y＝－ x－ 4，解得 x＝－ 8，

( 4)

∴ D(－ 8， 0)∴ OD＝ 8.

∵ A( 2， 0)， C( 0，－ 4)，∴ AD＝ 2－(－ 8)＝ 10.

由两点间的距离公式可知：

AC²＝ 2²＋ 4²＝ 20， DC²＝ 8²＋ 4²＝ 80.

∵ AD²＝ 100，∴ AC²＋ CD²＝ AD².

∴△ ACD是直角三角形，且∠ ACD＝ 90°.

②由①得∠ ACD＝ 90°.设 P点坐标为( x,)

当△ ACD∽△ CHP时，,

解得 x＝ 0(舍去)或 x＝－ 5.5或 x＝－ 10.5.

当△ ACD∽△ PHC时，,

解得 x＝ 0(舍去)或 x＝ 2或 x＝－ 18.

综上所述，点 P的横坐标为－ 5.5或－ 10.5或 2或－ 18时，使得以点 P， C， H为顶点的三角形与△ ACD相似.

变式练习：

1．( 2016·枣庄)如图，已知抛物线 y＝ ax²＋ bx＋ c( a≠ 0)的对称轴为直线 x＝－ 1，且抛物线经过 A( 1， 0)， C( 0， 3)两点，与 x轴交于点 B.

( 1)若直线 y＝ mx＋ n经过 B， C两点，求直线 BC和抛物线的解析式；

( 2)在抛物线的对称轴 x＝－ 1上找一点 M，使点 M到点 A的距离与到点 C的距离之和最小，求出点 M的坐标；

( 3)设点 P为抛物线的对称轴 x＝－ 1上的一个动点，求使△ BPC为直角三角形的点 P的坐标．

解：( 1)依题意，得

解得

∴抛物线解析式为 y＝－ x²－ 2 x＋ 3.

∵对称轴为 x＝－ 1，且抛物线经过 A( 1， 0)，

∴ B(－ 3， 0)．

∴把 B(－ 3， 0)， C( 0， 3)代入直线 y＝ mx＋ n，得，解得

∴直线 BC的解析式为 y＝ x＋ 3.

（ 2）设直线 BC与对称轴 x＝－ 1的交点为 M，则此时 MA＋ MC的值最小．把 x＝－ 1代入直线 y＝ x＋ 3，得 y＝ 2.

∴ M(－ 1， 2)，即当点 M到点 A的距离与到点 C的距离之和最小时

M的坐标为(－ 1， 2）

( 5)设 P(－ 1， t)，又∵ B(－ 3， 0)， C( 0， 3)，

∴ BC²＝ 18， PB²＝(－ 1＋ 3)²＋ t²＝ 4＋ t²， PC²＝(－ 1)²＋( t－ 3)²＝ t²－ 6 t＋ 10.

①若点 B为直角顶点，则 BC²＋ PB²＝ PC²，即 18＋ 4＋ t²＝ t²－ 6 t＋ 10，解得 t＝－ 2.

②若点 C为直角顶点，则 BC²＋ PC²＝ PB²，即 18＋ t²－ 6 t＋ 10＝ 4＋ t²，解得 t＝ 4.

③若点 P为直角顶点，则 PB²＋ PC²＝ BC²，即 4＋ t²＋ t²－ 6 t＋ 10＝ 18.解得 t₁＝， t₂＝.

综上所述， P点的坐标为(－ 1，－ 2)或(－ 1， 4)或（ -1，）或

（ -1，）

例 3、( 2017·重庆)如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ x²－ x－与 x轴交于 A， B两点(点 A在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C，对称轴与 x轴交于点 D，点 E( 4， n)在抛物线上．

( 1)求直线 AE的解析式；

( 2)如图 2，点 P为直线 CE下方抛物线上的一点，连接 PC， PE.当△ PCE的面积最大时，连接 CD， CB，点 K是线段 CB的中点，点 M是 CP上的一点，点 N是 CD上的一点，求 KM＋ MN＋ NK的最小值；

( 3)点 G是线段 CE的中点，将抛物线 y＝ x²－ x－沿 x轴正方向平移得到新抛物线 y′， y′经过点 D， y′的顶点为点 F.在新抛物线 y′的对称轴上，是否存在一点 Q，使得△ FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：

( 1)抛物线的解析式可变形为 y＝( x＋ 1)( x－ 3)，从而可得到点 A和点 B的坐标，然后再求得点 E的坐标，设直线 AE的解析式为 y＝ kx＋ b，将点 A和点 E的坐标代入求得 k和 b的值，从而得到 AE的解析式；

（ 2）设直线 CE的解析式为 y＝ mx－，将点 E的坐标代入求得 m的值，从而得到直线 CE的解析式，过点 P作 PI∥ y轴，交 CE于点 I.

设点 P的坐标为（ x, x²－ x－），则点 I（ x,)

则 IP＝－ x²＋ x.

由三角形的面积公式得到△ PCE的面积，利用二次函数的性质可求得 x的值，从而得到点 P的坐标；作点 K关于 CD和 CP的对称点 G， H，连接 GH交 CD和 CP于点 N， M.然后利用轴对称的性质可得到点 G和点 H的坐标，当点 O， N， M， H在一条直线上时， KM＋ MN＋ NK有最小值，最小值＝ GH；( 3)由平移后的抛物线经过点 D，可得到点 F的坐标，利用中点坐标公式可求得点 G的坐标，然后分为 QG＝ FG， QG＝ QF， FG＝ FQ三种情况求解即可．