考点 1点与圆、直线与圆的位置关系

例 1、在同一平面直角坐标系中有 5个点： A（ 1， 1）， B（－ 3，－ 1）， C（－ 3， 1）， D（－ 2，－ 2）， E（ ANOAHDIGITAL 10，－ ANOAHDIGITAL 11）.

（ 1）画出△ ABC的外接圆⊙ P，并指出点 D与⊙ P的位置关系；

（ 2）若直线 l经过点 D（－ 2，－ 2）， E（ 0，－ 3），判断直线 l与⊙ P的位置关系。

分析：（ 1）在直角坐标系内描出各点，画出△ ABC的外接圆，并指出点 D与⊙ P的位置关系即可；（ 2）连接 PD，用待定系数法求出直线 PD与 DE的解析式，再看它们位置关系即可.

解：

（ 1）如图所示.△ ABC外接圆的圆心为（－ 1， 0），点 D在⊙ P上.

（ 2）连接 PD，设过点 P， D的直线解析式为 y＝ kx＋ b.

∵ P（－ 1， 0）， D（－ 2，－ 2），代入，得

解得

∴此直线的解析式为 y＝ 2 x＋ 2.

设过点 D， E的直线解析式为 y＝ ax＋ c.

∵ D（－ 2，－ 2）， E（ 0，－ 3），代入，得

解得

∴此直线的解析式为 y＝－ x－ 3.

∵ k· a＝ 2×＝－ 1，∴ PD⊥ DE.

∵点 D在⊙ P上，∴直线 l与⊙ P相切.

考点 2切线的性质与判定

例 2、如图，在⊙ O中，点 C是直径 AB延长线上一点，过点 C作⊙ O的切线，切点为 D，连接 BD.

（ 1）求证：∠ A＝∠ BDC；

（ 2）若 CM平分∠ ACD，且分别交 AD， BD于点 M， N，当 DM＝ 1时，求 MN的长.

分析：（ 1）连接 OD.由圆周角推论可得∠ A＋∠ ABD＝ 90°，由切线性质可得∠ CDB＋∠ ODB＝ 90°，而∠ ABD＝∠ ODB，可得答案；

（ 2）由角平分线及三角形外角性质可得∠ A＋∠ ACM＝∠ BDC＋∠ DCM，即∠ DMN＝∠ DNM，根据勾股定理可求得 MN的长.

证明：（ 1）如图，连接 OD.

∵ AB为⊙ O的直径，

∴∠ ADB＝ 90°，即∠ A＋∠ ABD＝ 90°.

又∵ CD与⊙ O相切于点 D，

∴∠ CDB＋∠ ODB＝ 90°.

∵ OD＝ OB，

∴∠ ABD＝∠ ODB.

∴∠ A＝∠ BDC.

（ 2）∵ CM平分∠ ACD，

∴∠ DCM＝∠ ACM.

又∵∠ A＝∠ BDC，

∴∠ A＋∠ ACM＝∠ BDC＋∠ DCM.

即∠ DMN＝∠ DNM.

∵∠ ADB＝ 90°， DM＝ 1，

∴ DN＝ DM＝ 1.

∴ MN＝=

变式练习：

1、如图，⊙ O的弦 AD∥ BC，过点 D的切线交 BC的延长线于点 E， AC∥ DE交 BD于点 H， DO及延长线分别交 AC， BC于点 G， F.

（ 1）求证： DF垂直平分 AC；

（ 2）若弦 AD＝ 5 cm， AC＝ 8 cm，求⊙ O的半径.

分析：

（ 1）根据切线的性质，得 DF⊥ DE，再利用平行线的性质，得 DF⊥ AC，然后根据垂径定理即可得到 DF垂直平分 AC；

（ 2）（ 2）连接 AO，如图.由（ 1）求得 AG的长，在 Rt△ AGD中利用勾股定理计算出 DG的长，设圆的半径为 r，则 AO＝ r， OG＝ r－ DG，在 Rt△ AOG中再次利用勾股定理得到关于 r的方程，然后解方程即可得到圆的半径.

证明：（ 1）∵ DE是⊙ O的切线，

∴ DF⊥ DE.

又∵ AC∥ DE，

∴ DF⊥ AC.

∴ AG＝ CG.

∴ DF垂直平分 AC.

（ 2）连接 AO，如图.

∵ AG＝ GC， AC＝ 8 cm，

∴ AG＝ 4 cm.

在 Rt△ AGD中，

∵ AD＝ 5 cm， AG＝ 4 cm，

∴ DG＝ 3（ cm）.

设圆的半径为 r，则 AO＝ r， OG＝ r－ 3.

在 Rt△ AOG中，

∵ OG²＋ AG²＝ OA²，

即（ r－ 3）²＋ 4²＝ r²，

解得 r＝

∴⊙ O的半径为 cm.

2、如图， AD是⊙ O的切线，切点为点 A， AB是⊙ O的弦.过点 B作 BC∥ AD，交⊙ O于点 C，连接 AC，过点 C作 CD∥ AB，交 AD于点 D.连接 AO并延长交 BC于点 M，交过点 C的直线于点 P，且∠ BCP＝∠ ACD.

（ 1）判断直线 PC与⊙ O的位置关系，并说明理由；

（ 2）若 AB＝ 9， BC＝ 6.求 PC的长.

解：（ 1） PC与⊙ O相切.理由如下：

过 C点作直径 CE，连接 EB，如图.

∵ CE为直径，

∴∠ EBC＝ 90°，即∠ E＋∠ BCE＝ 90°.

∵ AB∥ DC，

∴∠ ACD＝∠ BAC.

∵∠ BAC＝∠ E，∠ BCP＝∠ ACD.

∴∠ E＝∠ BCP.

∴∠ BCP＋∠ BCE＝ 90°，

即∠ PCE＝ 90°.

∴ CE⊥ PC.

∴ PC与⊙ O相切.

（ 2）∵ AD是⊙ O的切线，切点为点 A，

∴ OA⊥ AD.

∵ BC∥ AD，

∴ AM⊥ BC.

∴ BM＝ CM＝ BC＝ 3.

∴ AC＝ AB＝ 9.

在 Rt△ AMC中， AM＝ 6

设⊙ O的半径为 r，

则 OC＝ r， OM＝ AM－ r＝ 6－ r.

在 Rt△ OCM中， OM²＋ CM²＝ OC²，

即 3²＋（ 6－ r）²＝ r²，解得 r＝

∴ CE＝ 2 r＝， OM＝ 6－＝

∵点 O， M分别为 EC， BC的中点，

∴ BE＝ 2 OM＝

∵∠ E＝∠ MCP，∴ Rt△ PCM∽ Rt△ CEB.

∴

∴ PC＝

考点 3三角形与圆的位置关系

例 3、在锐角△ ABC中， BC＝ 5， sinA＝

（ 1）如图 1，求△ ABC的外接圆的直径；

（ 2）如图 2，点 I为△ ABC的内心，若 BA＝ BC，求 AI的长.

分析：（ 1）对于条件 sin A＝怎样运用？应该设法构造直角三角形，运用直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等解答；

（ 2）利用等腰三角形三线合一可知 BI垂直于 AC，再利用等面积法解答.

【解】（ 1）作△ ABC的外接圆的直径 CD，连接 BD.

则∠ CBD＝ 90°，∠ D＝∠ A，

∴＝ sinD＝ sinA＝

∵ BC＝ 5，

∴ CD＝

即△ ABC的外接圆的直径为.

( 2)如图，连接 BI并延长交 AC于点 H，作 IE⊥ AB于点 E.

∵点 I为△ ABC的内心，

∴ AI平分∠ BAC.

∵ BA＝ BC，

∴ BH⊥ AC.

∴ IH＝ IE.

∴在 Rt△ ABH中，

BH＝ AB· sin∠ BAH＝ 4，

AH＝ 3.

∵ S_△_ABI＋ S_△_AHI＝ S_△_ABH，

∴

∵ IH＝ IE，

∴ IH＝在 Rt△ AHI中，

由勾股定理，得 AI=