垂径定理是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置，几乎在成都市中考中年年出现，作为单一知识点或在大题中结合其他知识综合考查，重在考查学生对知识应用的能力．垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用，由垂径定理可得到线段、角、弧等的相等关系，和线段的垂直关系，结合勾股定理、射影定理等知识

通常能顺利解决问题

模型一、如图，半径为 2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和 CD，它们的交点 E到圆心 O的距离等于 1，则 AB²＋ CD²＝( )

分析：

如图，连接 OA， OC，过 O点分别作 AB， CD的垂线，垂足分别为点 M， N，则 AM＝ MB， CN＝ ND.∵ AB⊥ CD，∴四边形 OMEN为矩形．∴ OM²＋ ON²＝ OE²从而 OA²－ AM²＋ OC²－ CN²＝ OE²，即 2²－＋ 2²－＝ 1²∴ AB²＋ CD²＝ 28.

例 1、如图，直线 AB与⊙ O相切于点 A，弦 CD∥ AB， E， F为圆上的两点，且∠ CDE＝∠ ADF.若⊙ O的半径为， CD＝ 4，则弦 EF的长为()

分析：首先连接 OA，并反向延长交 CD于点 H，连接 OC.∵直线 AB与⊙ O相切于点 A，弦 CD∥ AB，∴ AH⊥ CD.

∴ CH＝ CD＝× 4＝ 2.

∴ OH＝=.

∴ AH＝ OA＋ OH＝ 4.

∴ AC＝= 2.

∵∠ CDE＝∠ ADF，

∴弧 CE=弧 AF

∴弧 EF=弧 AC

∴ EF＝ AC＝ 2.

例 2、如图， A为⊙ O外一点， AB切⊙ O于点 B， AO交⊙ O于点 C， CD⊥ OB于点 E，交⊙ O于点 D，连接 OD.若 AB＝ 12， AC＝ 8.

( 1)求 OD的长；

( 2)求 CD的长．

分析：( 1)设⊙ O的半径为 R，根据切线定理，得 OB⊥ AB，则在 Rt△ ABO中，利用勾股定理即可求解．

( 2)根据垂径定理由 CD⊥ OB得 DE＝ CE，再证明△ OEC∽△ OBA，利用相似比可计算出 CD的长．

解：( 1)设⊙ O的半径为 R，

∵ AB切⊙ O于点 B，

∴ OB⊥ AB.

在 Rt△ ABO中，

OB＝ R， AO＝ OC＋ AC＝ R＋ 8， AB＝ 12.

∵ OB²＋ AB²＝ OA²，

∴ R²＋ 12²＝( R＋ 8)².

解得 R＝ 5.

∴ OD的长为 5.

（ 2）∵ CD⊥ OB，

∴ DE＝ CE.而 OB⊥ AB，

∴ CE∥ AB，

∴△ OEC∽△ OBA.

∴

即,

∴ CE＝

∴ CD＝ 2 CE＝

变式练习：

1、如图， AB是⊙ O的直径， OD垂直于弦 AC于点 E，且交⊙ O于点 D， F是 BA延长线上一点，若∠ CDB＝∠ BFD.

( 1)求证： FD是⊙ O的一条切线；

( 2)若 AB＝ 10， AC＝ 8，求 DF的长．

分析：( 1)利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠ FDO＝ 90°，进而得出答案；

( 2)利用垂径定理得出 AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出 FD的长．

( 1)证明：∵∠ CDB＝∠ CAB，∠ CDB＝∠ BFD，

∴∠ CAB＝∠ BFD.

∴ FD∥ AC.

∵∠ AEO＝ 90°，

∴∠ FDO＝ 90°.

∴ FD是⊙ O的一条切线．

( 2)∵ AB＝ 10， AC＝ 8， DO⊥ AC，

∴ AE＝ EC＝ 4， AO＝ 5.

∴ EO＝ 3.

∵ AE∥ FD，

∴△ AEO∽△ FDO.

∴

∴.

解得 FD＝即 DF的长为

例 3、如图， AB是⊙ O的一条弦， E是 AB的中点，过点 E作 EC⊥ OA于点 C，过点 B作⊙ O的切线交 CE的延长线于点 D.

( 1)求证： DB＝ DE；

( 2)若 AB＝ 12， BD＝ 5，求⊙ O的半径．

分析：( 1)欲证明 DB＝ DE，只要证明∠ DEB＝∠ DBE；

( 2)作 DF⊥ AB于点 F，连接 OE.只要证明∠ DEF＝∠ AOE，可得 sin∠ DEF＝ sin∠ AOE＝=，由此求出 AE即可解决问题．

( 1)证明：∵ AO＝ OB，

∴∠ OAB＝∠ OBA.

∵ BD是切线，

∴ OB⊥ BD，

∴∠ OBD＝ 90°，

∴∠ OBE＋∠ EBD＝ 90°.

∵ EC⊥ OA，

∴∠ CAE＋∠ CEA＝ 90°.

∵∠ CEA＝∠ DEB，

∴∠ EBD＝∠ BED

∴ DB＝ DE.

（ 2）作 DF⊥ AB于点 F，连接 OE，如图．

∵ DB＝ DE， AE＝ EB＝ 6，

∴ EF＝ BE＝ 3， OE⊥ AB.

在 Rt△ EDF中， DE＝ BD＝ 5， EF＝ 3，

∴ DF＝＝ 4.

∵∠ AOE＋∠ A＝ 90°，∠ DEF＋∠ A＝ 90°，

∴∠ AOE＝∠ DEF.

∴ sin∠ DEF＝ sin∠ AOE，

即

∵ AE＝ 6，

∴ AO＝

∴⊙ O的半径为

变式练习：

2、( 2017·深圳)如图 1，线段 AB是⊙ O的直径，弦 CD⊥ AB于点 H，点 M是上任意一点， AH＝ 2， CH＝ 4.

( 1)求⊙ O的半径 r的长度；

( 2)求 sin∠ CMD；

( 3)如图 2，直线 BM交直线 DC的延长线于点 E，直线 MH交⊙ O于点 N，连接 BN交 CE于点 F，求 HE· HF的值．

解：( 1)如图 1，连接 OC.

∵ AB⊥ CD，

∴∠ CHO＝ 90°.

在 Rt△ COH中，

∵ OC＝ r， OH＝ r－ 2， CH＝ 4，

∴ r²＝ 4²＋( r－ 2)²，

∴ r＝ 5.

( 2)如图 1，连接 OD.

∵ AB⊥ CD， AB是直径，

∴弧 AD=弧 AD=弧 CD

∴∠ AOC＝∠ COD.

∵∠ CMD＝∠ COD，

∴∠ CMD＝∠ COA.

∴ sin∠ CMD＝ sin∠ COA＝=

( 3)如图 2，连接 AM.

∵ AB是直径，

∴∠ AMB＝ 90°，

∴∠ MAB＋∠ ABM＝ 90°.

∵∠ E＋∠ ABM＝ 90°，

∴∠ E＝∠ MAB.

∴∠ MAB＝∠ MNB＝∠ E.

∵∠ EHM＝∠ NHF，

∴△ EHM∽△ NHF.

∴

∴ HE· HF＝ HM· HN.

∵ HM· HN＝ AH· HB，

∴ HE· HF＝ AH· HB＝ 2×( 10－ 2)＝ 16