知识点睛：
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线最重要的一点:延长中线一倍，完成 SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
如图，在△ ABC中, AD是 BC边中线，其常用的添加辅助线的方式如下
方式 1：直接倍长。如图，延长 AD到点 E，使 DE= AD，连接 BE。则可得到△ ACD≌△ EDB.
方式 2：间接倍长。
（ 1）如图，作 CF⊥ AD于点 F，作 BE⊥ AD的延长线于点 E，连接 BE。则可得到△ BED≌△ CFD.
（ 2）如图，延长 MD到点 N，使 DN= MD，连接 CN。则可得到△ BMD≌△ CND.
解题指导：
例 1．在△ ABC中， AB= 5， AC= 7， AD是 BC边上的中线．求中线 AD的取值范围．
【分析】延长 AD到 E，使 AD= DE，连接 BE，证△ ADC≌△ EDB，推出 EB= AC，根据三角形的三边关系求出即可．
解：延长 AD到 E，使 AD= DE，连接 BE。
∵ AD是△ ABC的中线，∴ BD= CD。
在△ ADC与△ EDB中，
∴△ ADC≌△ EDB（ SAS）。∴ EB= AC。
根据三角形的三边关系，得 AC﹣ AB＜ AE＜ AC+ AB。∴ 2＜ AE＜ 12。
∵ AE= 2 AD，∴ 1＜ AD＜ 6。
例 2．已知，△ ABC中， AB= AC，在 AB上取一点 D，在 AC延长线上取一点 E，连接 DE交 BC于点 F．若 F是 DE中点，求证： BD= CE．
【分析】过点 D作 DP∥ AC交 BC于 P，就可以得出∠ DPB=∠ ACB，△ DPF≌△ ECF，就可以得出 DP= EC，由 BD= DP就可以得出结论．
证明：如图，过点 D作 DP∥ AC交 BC于点 P。
∴∠ DPB=∠ ACB，∠ DPF=∠ ECF．
∵ F是 DE中点，∴ DF= EF．
在△ DPF和△ ECF中
，
∴△ DPF≌△ ECF（ AAS）。∴ DP= EC．
∵ AB= AC，∴∠ ABC=∠ ACB。
∴∠ DPB=∠ ABC。∴ BD= DP。
∴ BD= EC．
小试牛刀：
如图，已知在△ ABC中，∠ CAE=∠ B，点 E是 CD的中点，若 AD平分∠ BAE．
（ 1）求证： AC= BD；
（ 2）若 BD= 3， AD= 5， AE= x，求 x的取值范围．
分析：（ 1）延长 AE到 F，使 EF= EA，连接 DF，得到△ DEF≌△ CEA，根据全等三角形的性质得到 AC= FD，根据等腰三角形的性质得到∠ AFD=∠ CAE，推出△ ABD≌△ AFD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（ 2）根据全等三角形的性质得到 AB= AF，根据三角形的三边关系列不等式组即可得到结论．
（ 1）证明：延长 AE到点 F，使 EF= EA，连接 DF。
∵点 E是 CD的中点，∴ EC= ED。
在△ DEF与△ CEA中，
，
∴△ DEF≌△ CEA（ SAS）.∴ AC= FD.
∴∠ AFD=∠ CAE.
∵∠ CAE=∠ B，∴∠ AFD=∠ B.
∵ AD平分∠ BAE，∴∠ BAD=∠ FAD.
在△ ABD与△ AFD中，
，
∴△ ABD≌△ AFD (ASA).
∴ BD= FD.∴ AC= BD.
（ 2）解：由（ 1）证得△ ABD≌△ AFD，△ DEF≌△ CEA.
∴ AB= AF.
∵ AE= x，∴ AF= 2 AE= 2 x.
∴ AB= 2 x.
∵ BD= 3， AD= 5，
∴在△ ABD中，
，
解得 1＜ x＜ 4.
∴ x的取值范围是 1＜ x＜ 4．
