分类讨论
1.代数分类讨论
本类题常出现在 B卷填空题中，分值为 4分．分类讨论贯穿整个初中数学，在代数部分主要涉及代数式、方程、不等式、函数．分类时要注意分类标准要统一，且不重不漏．需要掌握分类原则、方法与技巧，在求解过程中，将问题转化为几部分，分别进行解答．
2.几何分类讨论
此题主要以 B卷填空题的形式考查几何分类讨论的相关知识，分值为 4分，常结合等腰三角形或者一元二次方程等进行考查，难度较大，所有情况容易讨论不完全，在做题时一
定先找出分类讨论的原因，梳理好分类讨论的思路
例 1、如图，在半径为 5的⊙ O中，弦 AB＝ 8，点 P是弦 AB所对的优弧上的动点，连接 AP，过点 A作 AP的垂线交射线 PB于点 C，当△ PAB是等腰三角形时，线段 BC的长为____________．
分析：
三种情况讨论：①当 BA＝ BP时，∠ BPA＝∠ BAP.∵∠ PAC＝∠ PAB＋∠ BAC＝ 90°，∠ APC＋∠ ACP＝ 90°，∴∠ BAC＝∠ ACB.∴ AB＝ BP＝ BC＝ 8，即线段 BC的长为 8.
②当 AB＝ AP时，如答图 1，延长 AO交 PB于点 D，过点 O作 OE⊥ AB于点 E.
则 AD⊥ PB， AE＝
AB＝ 4.
∴ BD＝ DP.
在 Rt△ AEO中， AE＝ 4， AO＝ 5，
∴ OE＝ 3.
易得△ AOE∽△ ABD.
∴
∴ BD＝
∴ PD＝ BD＝，
即 PB＝
∵ AB＝ AP＝ 8，
∴∠ ABD＝∠ P.
∵∠ PAC＝∠ ADB＝ 90°，
∴△ ABD∽△ CPA.
∴
∴ CP＝
∴ BC＝ CP－ BP＝
③当 PA＝ PB时，如答图 2，连接 PO并延长，交 AB于点 F，过点 C作 CG⊥ AB，交 AB的延长线于点 G，连接 OB.则 PF⊥ AB.
∴ AF＝ FB＝ 4.
在 Rt△ OFB中， OB＝ 5， FB＝ 4，
∴ OF＝ 3.
∴ FP＝ 8.
易得△ PFB∽△ CGB.
∴
= 2.
设 BG＝ t，则 CG＝ 2 t.易得∠ PAF＝∠ ACG
∵∠ AFP＝∠ AGC＝ 90°，
∴△ APF∽△ CAG.
∴
∴
解得 t＝
在 Rt△ BCG中， BC＝
t＝
综上所述，当△ PAB是等腰三角形时，线段 BC的长为 8或
或
变式练习：
1、如图，△ ABC内接于⊙ O，∠ B＝ 90°， AB＝ BC， D是⊙ O上与点 B关于圆心 O成中心对称的点， P是 BC边上一点，连接 AD， DC， AP已知 AB＝ 8， CP＝ 2， Q是线段 AP上一动点，连接 BQ并延长交四边形 ABCD的一边于点 R，且满足 AP＝ BR，则
的值为________．
分析：
先证明四边形 ABCD是正方形，得出 AD∥ BC，根据题意，可知点 R所在的位置可能有两种情况：①点 R在线段 AD上；②点 R在线段 CD上．针对每一种情况，分别求出 BQ∶ QR的值．
答案： 1或
变式练习：
2、如图，直线 y＝ 2 x与双曲线 y＝
在第一象限的交点为点 A，过点 A作 AB⊥ x轴于点 B，将△ ABO绕点 O旋转 90°，得到△ A′ B′ O，则点 A′的坐标为()
A．( 1， 0)
B．( 1， 0)或(－ 1， 0)
C．( 2， 0)或( 0，－ 2)
D．(－ 2， 1)或( 2，－ 1)
答案： D
3.抛物线 y＝ x 2－ 4 x－ 5与 x轴交于点 A， B，点 P在抛物线上，若△ PAB的面积为 27，则满足条件的点 P有()
A． 1个
B． 2个
C． 3个
D． 4个
答案： C.
4.如果一次函数 y＝ kx＋ b，当－ 3≤ x≤ 1时，－ 1≤ y≤ 7，则 kb的值为()
A． 10
B． 21
C.－ 10或 2
D．－ 2或 10
答案： D.
5. 化简
＝______________
答案： 1或 -1.
6.当 m＝_________时，关于 x的分式方程
＝ m无解．
答案：－
或 0
7.已知实数 a， b满足条件 a 2－ 7 a＋ 2＝ 0， b 2－ 7 b＋ 2＝ 0，则
＝___．
答案： 2或
8.已知点 A， B的坐标分别为( 1， 0)，( 2， 0)．若二次函数 y＝ x 2＋( a－ 3) x＋ 3的图象与线段 AB只有一个交点，则 a的取值范围是_____________.
答案：－ 1≤ a＜－或 a＝ 3－ 2
9、⊙ O的半径为 1，弦 AB＝
，弦 AC＝，则∠ BAC度数为_______．
答案： 75°或 15°
10、已知⊙ O的直径 CD＝ 10 cm， AB是⊙ O的弦， AB⊥ CD，垂足为点 M，且 AB＝ 8 cm，则 AC的长为_______．
答案： 4 cm或 2 cm
11、已知反比例函数 y＝
的图象与一次函数 y＝ k 2 x＋ m的图象交于 A(－ 1， a)， B
两点，连接 AO.
( 1)求反比例函数和一次函数的表达式；
( 2)设点 C在 y轴上，且与点 A， O构成等腰三角形，请直接写出点 C的坐标．
答案：
( 1)∵反比例函数 y＝的图象经过点 B，∴ k 1＝ 3××(－ 3)＝－ 3.
∵反比例函数 y＝的图象经过点 A(－ 1， a)，
∴ a＝ 1.
由直线 y＝ k 2 x＋ m过点 A， B，得
解得
∴反比例函数解析式为 y＝－
，
一次函数解析式为 y＝－ 3 x－ 2.
( 2)点 C在 y轴上，且与点 A， O构成等腰三角形，点 C的坐标为( 0，－)或( 0，)或( 0， 2)或( 0， 1)．
