四边形与相似三角形
近几年来，成都中考的考题中常出现四边形中的相似问题，题目难度较大，分值为 3～ 10分，常见的考题类型为 B组填空题及解答题，综合性强.
例 1、如图，正方形 ABCD中， M为 BC上一点， ME⊥ AM， ME交 AD的延长线于点 E.若 AB＝ 12， BM＝ 5，则 DE的长为________．
分析：先根据题意得出△ ABM∽△ MCG，故可得出 CG的长，再求出 DG的长，根据△ MCG∽△ EDG即可得出结论．
答案：
例 2、( 2017·天门)如图，矩形 ABCD中， AE⊥ BD于点 E， CF平分∠ BCD，交 EA的延长线于点 F，且 BC＝ 4， CD＝ 2，给出下列结论：①∠ BAE＝∠ CAD；②∠ DBC＝ 30°；③ AE＝
;④ AF＝ 2
其中正确的结论有________．
分析：根据余角的性质得到∠ BAE＝∠ ADB，等量代换得到∠ BAE＝∠ CAD，故①正确；根据三角函数的定义得到 tan∠ DBC＝
，于是得到∠ DBC≠ 30°，故②错误；由勾股定理得到 BD＝＝ 2，根据相似三角形的性质得到 AE＝，故③正确；根据角平分线的定义得到∠ BCF＝ 45°，求得∠ ACF＝ 45°－∠ ACB，推出∠ EAC＝ 2∠ ACF，根据外角的性质得到∠ EAC＝∠ ACF＋∠ F，得到∠ ACF＝∠ F，根据等腰三角形的判定得到 AF＝ AC，于是得到 AF＝ 2，故④正确．
答案：①③④
变式练习：
1、( 2017·绥化)如图，在平行四边形 ABCD中， AC， BD相交于点 O，点 E是 OA的中点，连接 BE并延长交 AD于点 F，已知 S△ AEF＝ 4，则下列结论：①
＝
；② S△ BCE＝ 36；③ S△ ABE＝ 12；④△ AEF∽△ ACD.其中一定正确的是( )
A．①②③④
B．①④
C．②③④
D．①②③
例 3、( 2017·绥化)如图，在矩形 ABCD中， E为 AB边上一点， EC平分∠ DEB， F为 CE的中点，连接 AF， BF，过点 E作 EH∥ BC分别交 AF， CD于 G， H两点．
( 1)求证： DE＝ DC；
( 2)求证： AF⊥ BF；
( 3)当 AF· GF＝ 28时，请直接写出 CE的长．
分析：( 1)根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ DCE＝∠ DEC，进而得出 DE＝ DC；( 2)连接 DF，根据等腰三角形的性质得出∠ DFC＝ 90°，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出 BF＝ CF＝ EF＝ EC，再根据 SAS判定△ ABF≌△ DCF，即可得出∠ AFB＝∠ DFC＝ 90°，据此可得 AF⊥ BF；( 3)根据等角的余角相等可得∠ BAF＝∠ FEH，再根据公共角∠ EFG＝∠ AFE，即可判定△ EFG∽△ AFE，进而得出 EF 2＝ AF· GF＝ 28，求得 EF＝ 2
，即可得到 CE＝ 2 EF＝ 4.
证明：( 1)∵四边形 ABCD是矩形，
∴ AB∥ CD.
∴∠ DCE＝∠ CEB.
∵ EC平分∠ DEB，
∴∠ DEC＝∠ CEB.
∴∠ DCE＝∠ DEC.
∴ DE＝ DC.
( 2)证明：连接 DF，
∵ DE＝ DC， F为 CE的中点，
∴ DF⊥ EC.∴∠ DFC＝ 90°.
在矩形 ABCD中， AB＝ DC，∠ ABC＝ 90°，
∴ BF＝ CF＝ EF＝ EC
∴∠ ABF＝∠ CEB.
∵∠ DCE＝∠ CEB，
∴∠ ABF＝∠ DCF.
在△ ABF和△ DCF中，
∵ BF＝ CF，∠ ABF＝∠ DCF， AB＝ DC，
∴△ ABF≌△ DCF (SAS)．
∴∠ AFB＝∠ DFC＝ 90°.
∴ AF⊥ BF.
( 3) CE＝ 4理由如下：
∵ AF⊥ BF，
∴∠ BAF＋∠ ABF＝ 90°.
∵ EH∥ BC，∠ ABC＝ 90°，
∴∠ BEH＝ 90°.
∴∠ FEH＋∠ CEB＝ 90°.
∵∠ ABF＝∠ CEB，
∴∠ BAF＝∠ FEH.
∵∠ EFG＝∠ AFE，
∴△ EFG∽△ AFE.
∴
，即 EF 2＝ AF· GF.
∵ AF· GF＝ 28，
∴ EF＝ 2.
∴ CE＝ 2 EF＝ 4
变式练习：
2、( 2017·贵港)如图，在正方形 ABCD中， O是对角线 AC与 BD的交点， M是 BC边上的动点(点 M不与 B， C重合)， CN⊥ DM， CN与 AB交于点 N，连接 OM， ON， MN.下列五个结论：①△ CNB≌△ DMC；②△ CON≌△ DOM；③△ OMN∽△ OAD；④ AN 2＋ CM 2＝ MN 2；⑤若 AB＝ 2，则 S△ OMN的最小值是其中正确结论的个数是（ ）
答案： 4个
例 4、如图 1，△ ABC是等腰直角三角形，∠ BAC＝ 90°， AB＝ AC，四边形 ADEF是正方形，点 B， C分别在边 AD， AF上，此时 BD＝ CF， BD⊥ CF成立．
( 1)当△ ABC绕点 A逆时针旋转θ( 0°<θ< 90°)时，如图 2， BD＝ CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
( 2)当△ ABC绕点 A逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD交 CF于点 H.
①求证： BD⊥ CF；
②当 AB＝ 2， AD＝ 3
时，求线段 DH的长．
分析：
( 1)根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△ CAF≌△ BAD，证明结论；
( 2)①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可；②连接 DF，延长 AB交 DF于点 M，根据题意和等腰直角三角形的性质求出 DM， BM的长，根据勾股定理求出 BD的长，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：( 1) BD＝ CF.理由如下：
由题意，得∠ CAF＝∠ BAD＝θ.
在△ CAF和△ BAD中
∴△ CAF≌△ BAD (SAS)．
∴ BD＝ CF.
( 2)①证明：如图 3，由( 1)得△ CAF≌△ BAD，
∴∠ CFA＝∠ BDA.
∵∠ FNH＝∠ DNA，∠ DNA＋∠ NDA＝ 90°，
∴∠ CFA＋∠ FNH＝ 90°.
∴∠ FHN＝ 90°.
即 BD⊥ CF.
②如图 3，连接 DF，延长 AB交 DF于点 M.
∵四边形 ADEF是正方形， AD＝ 3， AB＝ 2，∠ BAD＝ 45°，
∴ AM＝ DM＝ 3， BM＝ AM－ AB＝ 1， DB＝
.
∵∠ MAD＝∠ MDA＝ 45°，
∴∠ AMD＝ 90°.
又∵∠ DHF＝ 90°，∠ MDB＝∠ HDF，
∴△ DMB∽△ DHF.
∴
，即
,
解得 DH＝
.
变式练习
3．( 2017·呼和浩特)如图，在平行四边形 ABCD中，∠ B＝ 30°， AB＝ AC， O是两条对角线的交点，过点 O作 AC的垂线分别交边 AD， BC于点 E， F，点 M是边 AB的一个三等分点，则△ AOE与△ BMF的面积比为_______．
答案： 3： 4.
