特殊四边形
考点 1平行四边形的性质判定的理解
例 1、在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．对角线互相平分
分析：平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
答案： A
考点 2平行四边形的性质运用
例 2、如图，若平行四边形 ABCD的周长为 36 cm，过点 D分别作 AB， BC边上的高 DE， DF，且 DE＝ 4 cm， DF＝ 5 cm，平行四边形 ABCD的面积为（）
分析：由平行四边形 ABCD的周长为 36 cm，可得 AB＋ BC＝ 18 cm，又由过点 D分别作 AB， BC边上的高 DE， DF，且 DE＝ 4 cm， DF＝ 5 cm，由等积法，可得 4 AB＝ 5 BC．
答案： 40
考点 3平行四边形的判定
例 3、如图，在平行四边形 ABCD中， E是 CD的中点，延长 AE交 BC的延长线于点 F，分别连接 AC， DF，解答下列问题：
（ 1）求证：△ ADE≌△ FCE；
（ 2）若 DC平分∠ ADF，试确定四边形 ACFD是什么特殊四边形？请说明理由
分析：（ 1）由平行四边形的性质和中点的性质，易得∠ DAE＝∠ CFE，∠ ADC＝∠ ECF， DE＝ CE，继而证得：△ ADE≌△ FCE.
（ 2）由第（ 1）问中△ ADE≌△ FCE，易得 AD＝ CF，又由 AD∥ CF，即可证得四边形 ACFD是平行四边形，再证出 DF＝ CF，即可得出结论.
证明：（ 1）∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD∥ BC．
∴∠ DAE＝∠ CFE，∠ ADC＝∠ ECF.
又∵ E是 DC的中点，∴ DE＝ CE.
在△ ADE和△ FCE中，
∴△ ADE≌△ FCE（ AAS）.
（ 2）四边形 ACFD是菱形.理由如下：
∵△ ADE≌△ FCE，∴ AD＝ CF.
又∵ AD∥ CF，
∴四边形 ACFD是平行四边形.
∵ DC平分∠ ADF，∴∠ ADC＝∠ CDF，
∴∠ FCD＝∠ CDF.
∴ DF＝ CF，∴四边形 ACFD是菱形
考点 4平行四边形的性质与判定综合运用
例 4、已知△ ABC是边长为 6的等边三角形， D， E分别在边 BC， AC上，且 CD＝ CE＝ x，连接 DE并延长至点 F，使 EF＝ AE，连接 AF， CF.
（ 1）求证：△ AEF为等边三角形；
（ 2）求证：四边形 ABDF是平行四边形；
（ 3）记△ CEF的面积为 S.
①求 S与 x的函数关系式；
②当 S有最大值时，判断 CF与 BC的位置关系，并说明理由.
（ 1）证明：∵△ ABC为等边三角形，
∴∠ ACB＝ 60°.
又∵ CD＝ CE，∴△ CDE为等边三角形.
∴∠ CED＝ 60°，∴∠ AEF＝∠ CED＝ 60°.
又∵ AE＝ EF，∴△ AEF为等边三角形.
（ 2）证明：由（ 1）得∠ FAC＝∠ ACB＝ 60°，∴ AF∥ BC．
∵∠ CED＝∠ CAB＝ 60°，∴ AB∥ DF.
∴四边形 ABDF为平行四边形.
（ 3）①∵ S△ CDE＝
x 2，
∴ S＝
② x=
=
时， S最大，此时 CF⊥ BC．
理由：∵△ CDE为等边三角形，
∴ DE＝ CD＝ CE＝ 3.
∴ E为 DF的中点，∴ EF＝ DE＝ 3.
∴ AE＝ EF＝ 3.∴ CE＝ DE＝ EF＝ 3.
∴∠ CDE＝∠ ECD，∠ ECF＝∠ EFC．
∵∠ CDE＋∠ ECD＋∠ ECF＋∠ EFC＝ 180°，
∴ 2∠ ECD＋ 2∠ ECF＝ 180°.
∴∠ ECD＋∠ ECF＝ 90°，
即∠ DCF＝ 90°，∴ CF⊥ BC．
考点 5矩形的性质与判定
例 5、（ 2017·西宁）如图，点 O是矩形 ABCD的对角线 AC的中点， OM∥ AB交 AD于点 M，若 OM＝ 3， BC＝ 10，则 OB的长为（）
A． 5
B． 4
C．
D．
分析：已知 OM是△ ADC的中位线，再结合已知条件求出 DC的长，再利用勾股定理可求出 AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质即可求出 BO的长.
答案： D
变式练习：
1、如图，点 P是矩形 ABCD的边 AD上的一动点，矩形的两条边 AB， BC的长分别是 6和 8，则点 P到矩形的两条对角线的距离之和 PE＋ PF是（）
A． 4.8
B． 5
C． 6
D． 7.2
分析：首先连接 OP，由矩形的两条边 AB， BC的长分别为 6和 8，可求得 OA＝ OD＝ 5及△ AOD的面积，然后由 S△ AOD＝ S△ AOP＋ S△ DOP＝
OA· PE＋ OD· PF求得答案.
答案： A
考点 6菱形的性质与判定
例 6、在菱形 ABCD中， AB＝ BD．点 E， F分别在 AB， AD上，且 AE＝ DF.连接 BF与 DE相交于点 G，连接 CG与 BD相交于点 H.下列结论：
① AED≌△ DFB；
② S四边形 BCDG＝ CG 2；
③ CG＝ DG＋ BG；
④∠ DGB＝ 120°.
其中正确的结论有（ ）
A． 1个
B． 4个
C． 3个
D． 2个
分析：①根据 SAS即可证明；②延长 FB到点 M，使 BM＝ DG，连接 CM.
由△ CDG≌△ CBM可得 S△ CDG＝ S△ CBM，∠ DCG＝∠ BCM， CG＝ CM，推出∠ GCM＝∠ DCB＝ 60°，推出△ CGM为等边三角形，即可证明；③只要证明△ CDG≌△ CBM即可解决问题；④由△ AED≌△ DFB（ SAS），推出∠ ADE＝∠ DBF，由∠ DGB＝∠ DEB＋∠ EBG，∠ DEB＝∠ A＋∠ ADE即可解决问题.
答案： B．
考点 7正方形的性质与判定
例 7、如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O， E为 BC上一点， CE＝ 5， F为 DE的中点.若△ CEF的周长为 18，则 OF的长为.
分析：先根据直角三角形的性质求出 DE的长，再由勾股定理得出 CD的长，进而可得出 BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论.
答案：
（ 2）如图，四边形 ABCD， CEFG都是正方形，点 G在线段 CD上，连接 BG， DE， DE和 FG相交于点 O.设 AB＝ a， CG＝ b（ a> b）.下列结论：
①△ BCG≌△ DCE；
② BG⊥ DE；
③
；
④（ a－ b） 2· S△ EFO＝ b 2· S△ DGO.
其中结论正确的个数是（ ）
A． 4
B． 3
C． 2
D． 1
分析：① SAS即可证明；②延长 BG交 DE于点 H，由①可得∠ CDE＝∠ CBG，∠ DGH＝∠ BGC（对顶角），由等量代换即可证明；③由△ DGO∽△ DCE即可解答；④△ EFO∽△ DGO，
等于相似比的平方，即=
=
.
答案： B．
变式练习：
2、在△ ABC中，∠ BAC＝ 90°， AB＝ AC，点 D为直线 BC上一动点（点 D不与 B， C重合），以 AD为边在 AD右侧作正方形 ADEF，连接 CF.
（ 1）观察猜想
如图 1，当点 D在线段 BC上时，
① BC与 CF的位置关系为：；
② BC， CD， CF之间的数量关系为：___________.（将结论直接写在横线上）
（ 2）数学思考
如图 2，当点 D在线段 CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明
（ 3）拓展延伸
如图 3，当点 D在线段 BC的延长线上时，延长 BA交 CF于点 G，连接 GE.若已知 AB＝ 2
， CD＝
BC，请求出 GE的长.
解：
（ 1）易得；
（ 2） CF⊥ BC成立； BC＝ CD＋ CF不成立，数量关系应为 CD＝ CF＋ BC．
证明：在正方形 ADEF中， AD＝ AF.
∵∠ BAC＝∠ DAF＝ 90°，
∴∠ BAD＝∠ CAF.
在△ DAB与△ FAC中，
∴△ DAB≌△ FAC．
∴∠ ABD＝∠ ACF， BD＝ CF.
∵∠ BAC＝ 90°， AB＝ AC，
∴∠ ACB＝∠ ABC＝ 45°.
∴∠ ABD＝ 180°－ 45°＝ 135°.
∴∠ BCF＝∠ ACF－∠ ACB＝ 135°－ 45°＝ 90°.
即∠ BCF＝ 90°，∴ CF⊥ BC．
∵ CD＝ DB＋ BC， DB＝ CF，∴ CD＝ CF＋ BC．
（ 3）过 A点作 AH⊥ BC于点 H，过点 E作 EM⊥ BD于点 M， EN⊥ CF于点 N.
∵∠ BAC＝ 90°， AB＝ AC，
∴ BC＝ AB＝ 4，
AH＝ BC＝ 2.
∴ CD＝ BC＝ 1， CH＝ BC＝ 2.
∴ DH＝ 3， BD＝ 5.
同（ 2）易证得 BC⊥ CF， CF＝ BD＝ 5.
∵四边形 ADEF是正方形，
∴ AD＝ DE，∠ ADE＝ 90°.
∵ BC⊥ CF， EM⊥ BD， EN⊥ CF，
∴四边形 CMEN是矩形.
∴ NE＝ CM， EM＝ CN.
∵∠ AHD＝∠ ADE＝∠ EMD＝ 90°，
∴∠ ADH＋∠ EDM＝∠ EDM＋∠ DEM＝ 90°.
∴∠ ADH＝∠ DEM.
在△ ADH与△ DEM中
∴△ ADH≌△ DEM.
∴ EM＝ DH＝ 3， DM＝ AH＝ 2.
∴ CM＝ CD＋ DM＝ 3.
∴ CN＝ EM＝ 3， EN＝ CM＝ 3.
∵∠ ABC＝ 45°，∴∠ BGC＝ 45°.
∴△ BCG是等腰直角三角形.
∴ CG＝ BC＝ 4.∴ GN＝ 1.
∴ EG＝
