等腰三角形、等边三角形
考点 1等腰三角形的性质和判定
例 1、( 2016·滨州)如图,△ ABC中, D为 AB上一点, E为 BC上一点,且 AC= CD= BD= BE,∠ A= 50°,则∠ CDE的度数为()
分析:根据等腰三角形的性质推出∠ A=∠ CDA= 50°,∠ B=∠ DCB,∠ BDE=∠ BED,根据三角形的外角性质求出∠ B= 25°,由三角形的内角和定理求出∠ BDE,根据平角的定义即可求出∠ CDE的度数.
答案: 52.5°
变式练习:
1、( 2016·怀化)等腰三角形的两边长分别为 4 cm和 8 cm,则它的周长为()
A. 16 cm
B. 17 cm
C. 20 cm
D. 16 cm或 20 cm
分析:根据等腰三角形的性质,本题要分情况讨论当腰长为 4 cm或是腰长为 8 cm两种情况.
但要三角形成立。
所以答案: C
考点 2几何变换中的等腰三角形
例 2、( 2017·聊城)如图,将△ ABC绕点 C顺时针旋转,使点 B落在 AB边上点 B′处,此时,点 A的对应点 A′恰好落在 BC边的延长线上,下列结论错误的是()
A.∠ BCB′=∠ ACA′
B.∠ ACB= 2∠ B
C.∠ B′ CA=∠ B′ AC
D. B′ C平分∠ BB′ A′
分析: A.根据旋转的性质得解; B.根据等腰三角形的性质得到∠ B=∠ BB′ C,根据三角形的外角的性质得到∠ A′ CB′= 2∠ B,等量代换即可得解; D.等量代换得到∠ A′ B′ C=∠ BB′ C,从而得解.
答案: C.
考点 3构造等腰三角形
例 3、在平面直角坐标系 xOy中,已知点 A( 2, 3),在坐标轴上找一点 P,使得△ AOP是等腰三角形,则这样的点 P共有个.
分析:如图所示,使得△ AOP是等腰三角形的点 P共有 8个.
答案: 8
考点 4线段的垂直平分线
例 4、如图,在△ ABC中, AC的垂直平分线分别交 AC, BC于 E, D两点, EC= 4,△ ABC的周长为 23,则△ ABD的周长为()
A. 13
B. 15
C. 17
D. 19
分析:根据线段垂直平分线性质得出 AD= DC, AE= CE= 4,所以△ ABD的周长为 AB+ BC,代入求出即可.
答案: B
考点 5角平分线及其性质
例 5、( 2017·枣庄)如图,在 Rt△ ABC中,∠ C= 90°,以顶点 A为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC, AB于点 M, N,再分别以点 M, N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP交边 BC于点 D,若 CD= 4, AB= 15,则△ ABD的面积是()
分析:判断出 AP是∠ BAC的平分线,过点 D作 DE⊥ AB于 E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE= CD,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.
答案: 30.
变式练习:
2、如图,在△ ABC中, AD平分∠ BAC,求证:.
答案:
证明:如图,过点 C作 CE∥ AB与 AD的延长线相交于点 E,则∠ BAD=∠ E.
∵∠ ADB=∠ EDC,
∴△ ABD∽△ ECD.
∴
∵ AD平分∠ BAC,
∴∠ BAD=∠ CAD.
∴∠ CAD=∠ E.
∴ AC= CE.
∴
变式练习:下面是有关三角形内外角平分线的探究,阅读后按要求作答:
3、探究 1:如图 1,在△ ABC中, O是∠ ABC与∠ ACB的平分线 BO和 CO的交点,通过分析发现:∠ BOC= 90°+∠ A.理由如下:
∵ BO和 CO分别是∠ ABC和∠ ACB的平分线,
∴∠ 1=∠ ABC,∠ 2=∠ ACB.
∴∠ 1+∠ 2=(∠ ABC+∠ ACB).
又∵∠ ABC+∠ ACB= 180°-∠ A,
∴∠ 1+∠ 2=( 180°-∠ A)= 90°-∠ A.
∴∠ BOC= 180°-(∠ 1+∠ 2)= 180°-= 90°+∠ A.
探究 2:如图 2中, O是∠ ABC与外角∠ ACD的平分线 BO和 CO的交点,试分析∠ BOC与∠ A有怎样的数量关系?请说明理由
探究 3:如图 3中, O是外角∠ DBC与外角∠ ECB的平分线 BO和 CO的交点,则∠ BOC与∠ A有怎样的数量关系?(只写结论,不需证明)
结论:
解:探究 2结论:∠ BOC=∠ A.
理由如下:∵ BO和 CO分别是∠ ABC和∠ ACD的平分线,
∴∠ 1=∠ ABC,∠ 2=∠ ACD.
又∵∠ ACD是△ ABC的一外角,
∴∠ ACD=∠ A+∠ ABC.
∴∠ 2=(∠ A+∠ ABC)=∠ A+∠ 1.
∵∠ 2是△ BOC的一外角,
∴∠ BOC=∠ 2-∠ 1=∠ A+∠ 1-∠ 1=∠ A.
( 2)探究 3:∠ OBC=(∠ A+∠ ACB),∠ OCB=(∠ A+∠ ABC),
∠ BOC= 180°-∠ OBC-∠ OCB= 180°-(∠ A+∠ ACB)-(∠ A+∠ ABC)
= 180°-∠ A-(∠ A+∠ ABC+∠ ACB)= 180°-∠ A-× 180°= 90°-∠ A.
结论:∠ BOC= 90°-∠ A.
考点 6等边三角形与四边形
例 6、如图,在正方形 ABCD中,点 E, F分别在 BC, CD上,△ AEF是等边三角形,连接 AC交 EF于点 G,下列结论:
① BE= DF;
②∠ DAF= 15°;
③ AC垂直平分 EF;
④ BE+ DF= EF;
⑤ S△ CEF= 2 S△ ABE.
其中正确的结论有
分析:①∵四边形 ABCD是正方形,∴ AB= BC= CD= AD,∠ B=∠ BCD=∠ D=∠ BAD= 90°.∵△ AEF为等边三角形,∴ AE= EF= AF,∠ EAF= 60°.∴∠ BAE+∠ DAF= 30°.由 HL可证明 Rt△ ABE≌ Rt△ ADF,由此即可得解;②由全等可得∠ BAE=∠ DAF,由此即可得解;③∵ BC= CD,∴ BC- BE= CD- DF,即 CE= CF.由垂直平分线的判定定理即可得解;④设 EC= x,由勾股定理,得 EF= x, CG= x, AG= AEsin 60°= EFsin 60°= x,∴ AC=
∴ AB=∴ BE= AB- x=∴ BE+ DF=≠ x,由此即可得解;⑤∵ S△ CEF= x 2, S△ ABE= x 2,由此即可得解
答案:①②③⑤