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中考冲刺复习专题(五)

等腰三角形、等边三角形

图片1

考点 1等腰三角形的性质和判定

1、( 2016·滨州)如图,△ ABC中, DAB上一点, EBC上一点,且 ACCDBDBE,∠ A50°,则∠ CDE的度数为()

1.jpg

分析:根据等腰三角形的性质推出∠ A=∠ CDA50°,∠ B=∠ DCB,∠ BDE=∠ BED,根据三角形的外角性质求出∠ B25°,由三角形的内角和定理求出∠ BDE,根据平角的定义即可求出∠ CDE的度数.

答案: 52.5°

变式练习:

1、( 2016·怀化)等腰三角形的两边长分别为 4 cm8 cm,则它的周长为()

A. 16 cm

B. 17 cm

C. 20 cm

D. 16 cm20 cm

分析:根据等腰三角形的性质,本题要分情况讨论当腰长为 4 cm或是腰长为 8 cm两种情况.

但要三角形成立。

所以答案: C

考点 2几何变换中的等腰三角形

2、( 2017·聊城)如图,将△ ABC绕点 C顺时针旋转,使点 B落在 AB边上点 B′处,此时,点 A的对应点 A′恰好落在 BC边的延长线上,下列结论错误的是()

A.BCB′=∠ ACA

B.ACB2B

C.BCA=∠ BAC

D. BC平分∠ BBA

2.jpg

分析: A.根据旋转的性质得解; B.根据等腰三角形的性质得到∠ B=∠ BBC,根据三角形的外角的性质得到∠ ACB′= 2B,等量代换即可得解; D.等量代换得到∠ ABC=∠ BBC,从而得解.

答案: C.

考点 3构造等腰三角形

3、在平面直角坐标系 xOy中,已知点 A23),在坐标轴上找一点 P,使得△ AOP是等腰三角形,则这样的点 P共有个.

分析:如图所示,使得△ AOP是等腰三角形的点 P共有 8个.

3.jpg

答案: 8

考点 4线段的垂直平分线

4、如图,在△ ABC中, AC的垂直平分线分别交 ACBCED两点, EC4,△ ABC的周长为 23,则△ ABD的周长为()

A. 13

B. 15

C. 17

D. 19

分析:根据线段垂直平分线性质得出 ADDCAECE4,所以△ ABD的周长为 ABBC,代入求出即可.

答案: B

考点 5角平分线及其性质

5、( 2017·枣庄)如图,在 RtABC中,∠ C90°,以顶点 A为圆心,适当长为半径画弧,分别交 ACAB于点 MN,再分别以点 MN为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP交边 BC于点 D,若 CD4AB15,则△ ABD的面积是()

分析:判断出 AP是∠ BAC的平分线,过点 DDEABE,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DECD,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

答案: 30.

变式练习:

2、如图,在△ ABC中, AD平分∠ BAC,求证:.

4.jpg

答案:

证明:如图,过点 CCEABAD的延长线相交于点 E,则∠ BAD=∠ E.

5.jpg

∵∠ ADB=∠ EDC

∴△ ABD∽△ ECD.

AD平分∠ BAC

∴∠ BAD=∠ CAD.

∴∠ CAD=∠ E.

ACCE.

变式练习:下面是有关三角形内外角平分线的探究,阅读后按要求作答:

3、探究 1:如图 1,在△ ABC中, O是∠ ABC与∠ ACB的平分线 BOCO的交点,通过分析发现:∠ BOC90°+A.理由如下:

BOCO分别是∠ ABC和∠ ACB的平分线,

∴∠ 1ABC,∠ 2ACB.

∴∠ 1+∠ 2(∠ ABC+∠ ACB).

又∵∠ ABC+∠ ACB180°-∠ A

∴∠ 1+∠ 2180°-∠ A)= 90°-A.

∴∠ BOC180°-(∠ 1+∠ 2)= 180°-90°+A.

探究 2:如图 2中, O是∠ ABC与外角∠ ACD的平分线 BOCO的交点,试分析∠ BOC与∠ A有怎样的数量关系?请说明理由

探究 3:如图 3中, O是外角∠ DBC与外角∠ ECB的平分线 BOCO的交点,则∠ BOC与∠ A有怎样的数量关系?(只写结论,不需证明)

结论:

解:探究 2结论:∠ BOCA.

理由如下:∵ BOCO分别是∠ ABC和∠ ACD的平分线,

∴∠ 1ABC,∠ 2ACD.

又∵∠ ACD是△ ABC的一外角,

∴∠ ACD=∠ A+∠ ABC.

∴∠ 2(∠ A+∠ ABC)=A+∠ 1.

∵∠ 2是△ BOC的一外角,

∴∠ BOC=∠ 2-∠ 1A+∠ 1-∠ 1A.

2)探究 3:∠ OBC(∠ A+∠ ACB),∠ OCB(∠ A+∠ ABC),

BOC180°-∠ OBC-∠ OCB180°-(∠ A+∠ ACB)-(∠ A+∠ ABC

180°-A(∠ A+∠ ABC+∠ ACB)= 180°-A× 180°= 90°-A.

结论:∠ BOC90°-A.

考点 6等边三角形与四边形

6、如图,在正方形 ABCD中,点 EF分别在 BCCD上,△ AEF是等边三角形,连接 ACEF于点 G,下列结论:

BEDF

②∠ DAF15°;

AC垂直平分 EF

BEDFEF

S CEF2 S ABE.

其中正确的结论有

分析:①∵四边形 ABCD是正方形,∴ ABBCCDAD,∠ B=∠ BCD=∠ D=∠ BAD90°.∵△ AEF为等边三角形,∴ AEEFAF,∠ EAF60°.∴∠ BAE+∠ DAF30°.HL可证明 RtABERtADF,由此即可得解;②由全等可得∠ BAE=∠ DAF,由此即可得解;③∵ BCCD,∴ BCBECDDF,即 CECF.由垂直平分线的判定定理即可得解;④设 ECx,由勾股定理,得 EF xCG xAGAEsin 60°= EFsin 60°= x,∴ AC

ABBEABxBEDF x,由此即可得解;⑤∵ S CEF x 2S ABE x 2,由此即可得解

答案:①②③⑤