模型 1、如图 1，已知反比例函数 y＝( x> 0， k是常数)的图象经过点 A( 1， 4)，点 B( m， n)，其中 m> 1， AM⊥ x轴，垂足为点 M， BN⊥ y轴，垂足为点 N， AM与 BN的交点为 C.

( 1)写出反比例函数解析式；

( 2)求证：△ ACB∽△ NOM；

( 3)如图 2，若点 A， B是反比例函数图象上的任意两点，作 BE⊥ x轴，垂足为点 E， AF⊥ y轴，垂足为点 F， AF与 BE的交点为 D.直线 AB分别交两坐标轴于点 P，点 Q.求证：① AB∥ MN；②；③ QA＝ BP.

图 1

图 2

解：

( 1)∵ y＝( x> 0， k是常数)的图象经过点 A( 1， 4)，∴ k＝ 4.∴反比例函数解析式为 y＝

( 2)证明：∵点 A( 1， 4)，点 B( m， n)，∴ AC＝ 4－ n， BC＝ m－ 1， ON＝ n， OM＝ 1.∴＝＝－ 1.∵ B( m， n)在 y＝上，∴＝ m.∴＝ m－ 1.而，∴=∵∠ ACB＝∠ NOM＝ 90°，∴△ ACB∽△ NOM.

( 3)证明：连接 AN， BM，如图．

①∵ S_△_AMN＝ S_四边形_AFOM＝| k|， S_△_BMN＝ S_四边形_NOEB＝| k|，∴ S_△_AMN＝ S_△_BMN∴点 A， B到直线 MN的距离相等．∴ AB∥ MN.

变式练习 1、如图，一次函数 y＝ ax＋ b与 x轴， y轴交于 A， B两点，与反比例函数 y＝相交于 C， D两点，分别过 C， D两点作 y轴， x轴的垂线，垂足为点 E， F，连接 CF， DE， EF.有下列四个结论：

①△ CEF与△ DEF的面积相等；

②△ AOB∽△ FOE；

③△ DCE≌△ CDF；

④ AC＝ BD.

其中正确的结论个数为( )

【分析】①设 D则 F( x， 0)．由图象可知 x> 0， k> 0.∴△ DEF的面积是×× x＝ k.同理可知，△ CEF的面积是 k.∴△ CEF的面积等于△ DEF的面积，故①正确．②△ CEF和△ DEF以 EF为底，则两三角形 EF边上的高相等．∴ EF∥ CD，即 AB∥ EF.∴△ AOB∽△ FOE，故②正确．③条件不足，无法找出两三角形全等的条件，故③错误．④∵ BD∥ EF， DF∥ BE，∴四边形 BDFE是平行四边形．∴ BD＝ EF.同理 EF＝ AC.∴ AC＝ BD，故④正确．正确的有 3个．

例 2、( 2015·梅州)如图，过原点的直线 y＝ k₁ x和 y＝ k₂ x与反比例函数 y＝的图象分别交于点 A，点 C和点 B，点 D，连接 AB， BC， CD， DA.

( 1)四边形 ABCD一定是________四边形；(直接填写结果)

( 2)四边形 ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时 k₁， k₂之间的关系式；若不能，说明理由；

( 3)设 P( x₁， y₁)， Q( x₂， y₂)( x₂> x₁> 0)是函数 y＝图象上的任意两点， a＝， b＝，试判断 a， b的大小关系，并说明理由．

【分析】( 1)由直线 y＝ k₁ x和 y＝ k₂ x与反比例函数 y＝的图象的交点关于原点对称，即可得到结论；( 2)联立方程求得 A， B两点的坐标，然后根据 OA＝ OB，依据勾股定理建立方程求得；( 3)由 P( x₁， y₁)， Q( x₂， y₂)( x₂> x₁> 0)是函数 y＝图象上的任意两点，得到 y₁＝， y₂＝，利用作差法比较大小．

【解】( 1)平行

( 2)∵正比例函数 y＝ k₁ x( k₁> 0)与反比例函数 y＝的图象在第一象限相交于点 A，

∴ k₁ x＝，解得 x＝

将 x＝代入 y＝ k₁ x，得 y＝

故 A点的坐标为（，）

同理， B点坐标为（，）

又∵ OA＝ OB，∴

整理，得( k₁－ k₂)( k₁ k₂－ 1)＝ 0.

∵ k₁≠ k₂，∴ k₁ k₂－ 1＝ 0，即 k₁ k₂＝ 1.

( 3)∵ P( x₁， y₁)， Q( x₂， y₂)( x₂> x₁> 0)是函数 y＝图象上的任意两点，∴ y₁＝， y₂＝.

∴ a＝=

∴ a－ b＝==

∵ x₂> x₁> 0，

∴( x₁－ x₂)²> 0， x₁ x₂> 0，( x₁＋ x₂)> 0.

∴> 0.∴ a－ b> 0.∴ a> b.

变式练习 2、( 2016·成都)如图，在平面直角坐标系 xOy中，正比例函数 y＝ kx的图象与反比例函数 y＝的图象都经过点 A( 2，－ 2)．

( 1)分别求这两个函数的表达式；

( 2)将直线 OA向上平移 3个单位长度后与 y轴相交于点 B，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为 C，连接 AB， AC，求点 C的坐标及△ ABC的面积．

【分析】( 1)用待定系数法求函数的解析式；( 2)根据两解析式求出平移后的点 C的坐标，连接 OC或作 AD∥ y轴交 BC于点 D，将 S_△_ABC转化为 S_△_OBC或 S_△_ABD与 S_△_ACD之和．

【解】( 1)根据题意，将点 A( 2，－ 2)代入 y＝ kx，得－ 2＝ 2 k，解得 k＝－ 1.

∴正比例函数的解析式为 y＝－ x.

又∵点 C在第四象限，∴点 C的坐标为( 4，－ 1)．

连接 OC.∵ OA∥ BC，

∴ S_△_ABC＝ S_△_OBC＝× BO× x_C＝× 3× 4＝ 6.

例 3、函数 y＝和 y＝在第一象限内的图象如图，点 P是 y＝的图象上一动点， PC⊥ x轴于点 C，交 y＝的图象于点 A， PD⊥ y轴于点 D，交 y＝的图象于点 B.给出如下结论：

①△ ODB与△ OCA的面积相等；

② PA与 PB始终相等；

③四边形 PAOB的面积大小不会发生变化；

④ CA＝ AP.

其中所有正确结论的序号是________．

【分析】①因点 A和 B都在反比例函数 y=的图象上，根据反比例函数 k的几何意义可知，△ ODB与△ OCA的面积都等于，正确；②由图的直观性可知， P点自上而下运动时， PB在逐渐增大，而 PA在逐渐减小，错误；③因△ ODB与△ OCA的面积都等于，它们面积之和始终等于 1，而矩形 OCPD的面积始终等于 4，所以四边形 PAOB的面积始终等于 3，即大小不会发生变化，正确；④连接 OP，△ OPC面积始终等于 2，△ OCA的面积等于，因它们同底( OC作底)，所以 AC∶ PC＝ 1∶ 4，所以 CA＝ AP，正确．

答案：①③④

变式练习 3、如图，反比例函数 y＝( x＞ 0)的图象经过矩形 OABC对角线的交点 M，分别与 AB， BC交于点 D， E，若四边形 ODBE的面积为 9，求 k的值．

分析：本题可从反比例函数图象上的点 E， M， D入手，分别找出△ OCE、△ OAD、矩形 OABC的面积与| k|的关系，列出等式求出 k值．

解：由题意得点 E， M， D位于反比例函数图象上，则 S_△_OCE＝， S_△_OAD＝.

过点 M作 MG⊥ y轴于点 G，作 MN⊥ x轴于点 N，则 S_矩形_ONMG＝| k|.

又∵点 M为矩形 ABCO对角线的交点，

∴ S_矩形_ABCO＝ 4 S_矩形_ONMG＝ 4| k|.

由于函数图象在第一象限， k＞ 0，

则＋＋ 9＝ 4 k.解得 k＝ 3.