考点 1整式的相关概念
例 1、单项式 9 x m y 3与单项式 4 x 2 y n是同类项，则 m＋ n的值是()
分析：根据同类项的定义，可得 m， n的值，根据有理数的加法。
可得答案： 5.
考点 2代数式求值
例 2、若 x＝ 3－
，则代数式 x 2 -6 x+ 9的值为________．
分析： x 2 -6 x+ 9=( x -3) 2，代入 x即可得解．
答案： 2.
例 3、已知当 x＝ m时，多项式 x 2＋ 2 x＋ n 2的值为－ 1，则当 x＝－ m时，
该多项式的值为________．
分析:根据题意可得： m 2+ 2 m+ n 2= -1,整理得： m 2+ 2 m+ 1+ n 2= 0,由非负数的性质，得出 m＝－ 1， n＝ 0，由此即可解决问题．
答案： 3.
考点 3幂的运算
例 4、下列运算正确的是()
A．( a 2) m＝ a 2 m
B．( 2 a) 3＝ 2 a 3
C． a 3· a－ 5＝ a－ 15
D． a 3÷ a－ 5＝ a－ 2
分析：根据整式的运算法则即可求出答案．
答案： A
考点 4乘法公式
例 5、当 a＝ 3， b＝－ 1时，求下列代数式的值．
( 1)( a＋ b)( a－ b)；
( 2) a 2＋ 2 ab＋ b 2.
解：( 1)当 a＝ 3， b＝－ 1时，原式＝ 2× 4＝ 8；
（ 2）当 a＝ 3， b＝－ 1时，原式＝( a＋ b) 2＝ 2 2＝ 4.
例 6、若代数式 x 2＋ kx＋ 25是一个完全平方式，则 k＝________．
分析：利用完全平方公式的结构特征即可求出 k的值．
答案：± 10
例 7、若实数 x满足 x 2－ 2 x－ 1＝ 0，则 x 2＋
＝________．
分析：根据 x 2－ 2 x－ 1＝ 0，可以求得 x－
的值，从而可以利用完全平方公式得到 x 2＋的值，本题得以解决．
答案： 10
考点 5整式的化简求值
例 8、先化简，再求值：( 2 x＋ 1)·( 2 x－ 1)－( x＋ 1)( 3 x－ 2)，
其中 x＝－ 1.
分析：首先利用整式乘法运算法则化简，进而去括号合并同类项，再将已知代入并求出答案．
解：原式＝ 4 x 2－ 1－( 3 x 2＋ 3 x－ 2 x－ 2)＝ 4 x 2－ 1－ 3 x 2－ x＋ 2＝ x 2－ x＋ 1.
把 x＝－ 1代入上式，得
原式＝(－ 1) 2－(－ 1)＋ 1＝ 3－ 2－＋ 2＝ 5－ 3.
变式练习：
1.下列运算正确的是（ ）
A. a 2· a 2＝ 2 a 2
B.（ 1＋ 2 a） 2＝ 1＋ 2 a＋ 4 a 2
C. a 2＋ a 2＝ a 4
D.（－ a＋ 1）（ a＋ 1）＝ 1－ a 2
答案： D.
2.如图，从边长为 a的大正方形中剪掉一个边长为 b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A.（ a－ b） 2＝ a 2－ 2 ab＋ b 2
B. a（ a－ b）＝ a 2－ ab
C.（ a－ b） 2＝ a 2－ b 2
D. a 2－ b 2＝（ a＋ b）（ a－ b）
答案： D.
3. 已知 4 a＋ 3 b＝ 1，则整式 8 a＋ 6 b－ 3的值为.
答案： -1
4.先化简，再求值
（ 1）（ 2017·常州）（ x＋ 2）（ x－ 2）－ x（ x－ 1），其中 x＝－ 2；
答案：解：（ x＋ 2）（ x－ 2）－ x（ x－ 1）＝ x 2－ 4－ x 2＋ x＝ x－ 4.
当 x＝－ 2时，
原式＝－ 2－ 4
＝－ 6.
（ 2）（ 2017·河南）（ 2 x＋ y） 2＋（ x－ y）（ x＋ y）－ 5 x（ x－ y），其中 x＝＋ 1， y＝－ 1.
答案：解：（ 2 x＋ y） 2＋（ x－ y）（ x＋ y）－ 5 x（ x－ y）
＝ 4 x 2＋ 4 xy＋ y 2＋ x 2－ y 2－ 5 x 2＋ 5 xy
＝ 9 xy.
当 x＝＋ 1， y＝－ 1时，
原式＝ 9（＋ 1）（－ 1）
＝ 9×（ 2－ 1）
＝ 9.
考点 6因式分解的概念
例 9、下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）
A. a（ m＋ n）＝ am＋ an
B. a 2－ b 2－ c 2＝（ a－ b）（ a＋ b）－ c 2
C. 10 x 2－ 5 x＝ 5 x（ 2 x－ 1）
D. x 2－ 16＋ 6 x＝（ x＋ 4）（ x－ 4）＋ 6 x
分析：根据因式分解的意义即可判断
A.该变形为去括号，故 A不是因式分解；
B.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故 B不是因式分解；
D.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故 D不是因式分解；故选 C.
考点 7多项式分解因式
例 10、因式分解： x 2－ 2 x＋（ x－ 2）＝.
分析：通过两次提取公因式来进行因式分解
答案：（ x＋ 1）（ x－ 2）
例 11、把 8 a 3－ 8 a 2＋ 2 a进行因式分解，结果正确的是（）
A. 2 a（ 4 a 2－ 4 a＋ 1）
B. 8 a 2（ a－ 1）
C. 2 a（ 2 a－ 1） 2
D. 2 a（ 2 a＋ 1） 2
分析：首先提取公因式 2 a，进而利用完全平方公式分解因式即可. 8 a 3－ 8 a 2＋ 2 a＝ 2 a（ 4 a 2－ 4 a＋ 1）＝ 2 a（ 2 a－ 1） 2.
答案： C
例 12、分解因式： 8 a 2－ 2＝.
分析：先提取公因式 2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.
答案： 2（ 2 a＋ 1）（ 2 a－ 1）
变式练习：
1、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： a－ b， x－ y， x＋ y， a＋ b， x 2－ y 2， a 2－ b 2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（ x 2－ y 2） a 2－（ x 2－ y 2） b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A.我爱美 B.宜昌游
C.爱我宜昌 D.美我宜昌
答案： C
例 13、已知 x－ 2 y＝ 6， x－ 3 y＝ 4，则 x 2－ 5 xy＋ 6 y 2＝
解：∵ x－ 2 y＝ 6， x－ 3 y＝ 4，∴原式＝（ x－ 2 y）（ x－ 3 y）＝ 24.
考点 8分式有意义的条件
例 14、要使式子
有意义，则 m的取值范围是（）
A. m＞－ 1
B. m≥－ 1
C. m＞－ 1且 m≠ 1
D. m≥－ 1且 m≠ 1
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x的范围.
答案： D.
考点 9分式基本性质的运用
例 15、化简
，得；当 m＝－ 1时，原式的值为
分析：本题主要考查了分式的约分，关键是找出分式的分子和分母的公因式，题目比较典型，难度适中
答案:
; 1
考点 10分式的化简与求值
例 16、化简
的结果是（ ）
A. x＋ 1
B. x－ 1
C. x 2－ 1
D.
分析：原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果
答案： A
变式练习：
1、化简：
答案：解：原式＝
=
＝－ 1.
2、化简求值：
，其中 x＝
－ 1.
答案：解：原式＝
=
∵ x＝－ 1，
∴原式＝
考点 11分式方程
例 17、已知 x＝ 3是分式方程
的解，那么实数 k的值为（）
A.－ 1
B. 0
C. 1
D. 2
分析：将 x＝ 3代入原方程即可求出 k的值.
答案： D
例 18、已知关于 x的分式方程
的解是非负数，那么 a的取值范围是（）
A. a＞ 1
B. a≥ 1
C. a≥ 1且 a≠ 9
D. a≤ 1
分析：根据分式方程的解法即可求出 a的取值范围.
答案： C
例 19、关于 x的方程
无解，则 m的值为（）
A.－ 5
B.－ 8
C.－ 2
D. 5
分析：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到 x＋ 1＝ 0，求出 x的值，代入整式方程求出 m的值即可.
答案： A
例 20、关于 x的方程
有增根，那么 a＝（）
A.－ 2
B. 0
C. 1
D. 3
分析：
去分母，得 x（ x＋ 2）－（ x＋ 2）（ x－ 1）＝ a.
由分式方程有增根，得到（ x＋ 2）（ x－ 1）＝ 0.
解得 x＝－ 2或 x＝ 1.
把 x＝－ 2代入整式方程，得 a＝ 0，经检验不合题意，舍去；
把 x＝ 1代入整式方程，得 a＝ 3.
故选 D.
考点 12、分式方程的应用
例 21、一汽车从甲地出发开往相距 240 km的乙地，出发后第 1小时内按原计划的速度匀速行驶， 1小时后比原来的速度加快
，比原计划提前 24 min到达乙地，求汽车出发后第 1小时内的行驶速度.
【分析】根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案
【解】设汽车出发后第 1小时内的行驶速度是 x千米/时，根据题意，得
解得 x＝ 80.
经检验，得 x＝ 80是原方程的根，
故汽车出发后第 1小时内的行驶速度是 80千米/时
变式练习：
1、解分式方程.
（ 1）
解：两边乘 x（ x－ 3）得到 3－ x＝ x 2－ 3 x，
∴ x 2－ 2 x－ 3＝ 0.
∴（ x－ 3）（ x＋ 1）＝ 0.
∴ x＝ 3或－ 1.
经检验 x＝ 3是原方程的增根，
∴原方程的解为 x＝－ 1.
2、某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口 420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了 50%，行驶时间缩短了 2 h，求汽车原来的平均速度.
解：设汽车原来的平均速度是 xkm/ h.
根据题意，得
解得 x＝ 70.
经检验 x＝ 70是原方程的解.
故汽车原来的平均速度是 70 km/ h
