圆的知识在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线与圆的位置关系的应用又比较广泛，它是中考必考考点。
一、直线和圆的位置关系：
设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d.
（ 1）直线与圆相交
d_____ r.
（ 2）直线与圆相切 d_____ r.
（ 3）直线与圆相离 d_____ r.
二、圆的切线：
1、一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的_____；这个公共点叫做_________.
2、两种判定：（ 1）若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；
（ 2）经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
3、判定直线与圆的位置，一般考虑如下“三步曲”：
（ 1）看：看看题目中有没有告诉我们直线与圆有几个公共点；
（ 2）算：算算圆心到直线的距离 d和圆的半径 r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断；
（ 3）证明：证明直线是否经过直线的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直.
4、四条性质：
（ 1）圆心到切线的距离等于圆的__________；
（ 2）过切点的半径垂直于________________;
（ 3）经过圆心，与切线垂直的直线必经过_________________；
（ 4）经过切点，与切线垂直的直线必经过__________________.
典型例题：
例 1.如图，已知⊙ O是以数轴的原点 O为圆心，半径为 1的圆，
AOB= 45°，点 P在数轴上运动，若过点 P且与 OA平行的直线与⊙ O有公共点，设 OP=
，则的取值范围为____________
分析与思考：
与圆有公共点
圆与直线相切或相交圆心距
半径
解：过点 O作过点 P的直线的垂线段，交于点 E.
根据题意可得： OE r，即 OE 1,
PE// OA
AOB= OPE= 45°，
OP=
OE， OP=,
OE=
1
OE>0
所以 0<.
例 2.如图，直线
：
与坐标轴交于 A、 B两点，点 M（ m， 0）是
轴上一动点，以点 M为圆心， 2个单位长度为半径作⊙ M，当⊙ M与直线相切时，则 m的值为__________.
分析与思考：
直线与圆相切，就是圆心距等于半径，关键是把圆心距表示出来；
解：
圆 M与直线相切，根据直线的位置，可分为点 M在点 B的左边和在点 B的右边两种情况：
当点 M在点 B左边时，过点 M作 MC
直线.
易得点 B（ 2， 0），点 A（ 0， 1）.
所以 OB= 2, OA= 1, AB=
.
MCB= AOB， MBC= ABO
MBC∽ ABO
,
BM= 2,
OM= 2 -2
当点 M在点 B右边时，过点 M’作 M’ C直线.
同理得到 OM= 2+ 2.
答案： m= 2
+ 2或 2 -2.
变式练习：
1.如图，在 AOB中， O= 90°， AO= 8 cm， BO= 6 cm，点 C从 A点出发，在边 AO上以 2 cm/ s的速度向 O点运动，与此同时，点 D从点 B出发，在边 BO上以 1.5 cm/ s的速度向 O点运动，过 OC的中点 E作 CD的垂线 EF，则当点 C运动了_________ s时，以 C为圆心， 1.5 cm为半径的圆与直线 EF相切.
温馨提示：
当以点 C为圆心， 1.5 cm为半径的圆与直线 EF相切时，即 CF= 1.5 cm，又因为 EFC= O= 90°，所以
EEC与 DCO，利用对应边相等即可求出 EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出 t的值，要注意 t的取值范围.
答案： t=
.
例 3.如图，在 ABC中， AB= AC，以 AC边为直径⊙ O交 BC边于点 D,过点 D作 DE AB于点 E， ED、 AC的延长线交于点 F.
（ 1）求证： EF是⊙ O的切线；
（ 2）若 EB=
，且
,求⊙ O的半径与线段 AE的长.
分析与思考：
（ 1）知半径，证垂直；
（ 2）在 Rt ODF中，利用正弦的定义得到 OD: OF= 3:5，设 OD= 3， OF= 5,所以 AB= AC= 6， AF= 8，
在 Rt AEF中， AE: AF= 3:5，可得 AE=
，通过 BE得到,可得 AE和 OD的长.
证明：（ 1）连接 OD，
AB= AC， B= ACD.
OC= OD， ODC= OCD.
B= ODC,
OD// AB.
DE AB,
OD EF.
EF是圆 O的切线.
（ 2）在 Rt ODF和 Rt AEF中，
sin CFD=
，
=
=.
设 OD= 3，则 OF= 5，所以 AB= AC= 6, AF= 8,
EB=, AE= 6-
，解得=
.
圆 O的半径为
， AE= 6.
变式练习：
2.如图，已知⊙ O的直径 AB= 10，弦 AC= 6, BAC的平分线交⊙ O于点 D，过点 D作 DE AC交 AC的延长线于点 E.
（ 1）求证： DE是⊙ O的切线.
（ 2）求 DE的长.
答案：
证明：（ 1）连接 OD，
AD平分 BAC，
DAE= DAB，
OA= OD， ODA= DAO
ODA= DAE
OD// AE
DE AC
OD DE
DE是圆 O的切线.
（ 2）过点 O作 OF AC于点 F，
AF= CF= 3，
OF= 4
OFE= DEF= ODE= 90°，
四边形 OFED是矩形，
DE= OF= 4.
