圆即是轴对称图形，又是中心对称图形，由圆的轴对称可以引出许多重要的定理：
1.垂径定理以及推论；
2.在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论；
3.圆周角定理及推论
这些性质在计算和证明题中应用广泛，通常是作辅助线构造直角三角形，与勾股定理和解直角三角形的相关知识结合
典型例题：
例 1.圆 O的直径 AB= 10 cm，弦 CD
AB，垂足为点 P，若 OP: OB= 3:5，则 CD的长为____________.
分析与思考：
利用垂径定理连接半径，在直角三角形中用勾股定理列方程求解
解：连接 OC.
AB= 10 cm，
OB= 5 cm；
OP: OB= 3:5， OP= 3 cm；
在 Rt
OCP中， OC= OB= 5 cm， OP= 3 cm；
得到： CP=
= 4 cm.
所以 CD= 2 CP= 8 cm.
例 2.如图，四边形 ABCD内接于圆 O，已知
ADC= 140°，则 AOC的大小是（）
A. 80°
B. 100°
C. 60°
D. 40°
分析与思考：
根据圆内接四边形的性质求得 ABC= 40°，利用圆周角定理求解.
解：四边形 ABCD是圆 O的内接四边形
ABC+ ADC= 180°
ABC= 180° -140°= 40°.
AOC= 2 ABC= 80°.
故选 A.
例 3.如图，在圆 O中， AB为直径，点 C为圆上一点，将劣弧 AC沿弦 AC翻折交 AB于点 D，连接 CD.
（ 1）如图 1，若点 D与圆心 O重合， AC= 2，求圆 O的半径 r；
（ 2）如图 2，若点 D与圆心 O不重合，若 BAC= 25°，则 DCAD的度数.
分析与思考：
本题主要考查圆周角的相关定理
解：（ 1）如图，过点 O作 OE AC于点 E，则 AE= 1.
翻折后点 D与圆心 O重合， OE=
.
在 Rt AOE中，
.
即
，
解得：
.
（ 2）连接 BC.
AB是直径， ACB= 90°.
BAC= 25°， B= 65°.
根据翻折的性质， AC弧所对的圆周角等于 ADC弧所对的圆周角.
DCA= B - A= 40°.
变式练习：
1.如图，圆 O中，弦 AB与 CD交于点 M， A= 45°， AMD= 75°，则 B的度数是（）
A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 75°
答案：
C.
2.如图， AB为圆 O的直径，点 C在圆 O上，若 OCA= 50°， AB= 4，则 BC弧的长为____.
答案：
.
3.把一张圆形制片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 BC弧的度数是__.
答案： 150°.
例 4.如图，已知圆 O是等腰 Rt ABC的外接圆，点 D是 AC弧上一点， BD交 AC于点 E，若 BC= 4， AD=
，则 AE的长是______________.
分析与思考：
利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定 AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定 ADE和 BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段 AE的长度即可.
解：等腰 Rt ABC， BC= 4，
AB为圆 O的直径， AC= 4， AB=
.
D= 90°,
在 Rt ABD中， AD=, AB=,
BD=
,
D= C, DAC= CBE,
ADE∽ BCE
AD: BC= 1:5
相似比为 1： 5，
设 AE=
，
则 BE= 5,
DE= -5,
CE= 28-5,
AC= 4，
= 1.
所以 AE= 1.
变式练习：
如图， ABC内接于圆 O， AH BC于点 H，若 AC= 24， AH= 18,圆 O的半径 OC= 13，则 AB=_____.
答案：
温馨提示：
作直径 AE，连接 CE.
AB=
