圆与平面直角坐标系结合是初中数学中代数与几何结合形式中最完美的结合之一，在突出考查几何的同时又融入了计算，为更高端的解析几何的学习埋下可很好的伏笔。在初中数学中，圆与平面直角坐标系的考查主要以下三个方面：
1.平面直角坐标系中有关线段、角度、面积的计算；
2.平面直角坐标系与圆的基本性质结合；
3.平面直角坐标系中与圆有关的最值
典型例题：
例 1.在平面直角坐标系中，已知 A（ -2， 0）， B（ 2， 0）， AC
AB于点 A， AC= 2， BD AB于点 B， BD= 6，以 AB为直径的半圆 O上有一动点 P（不与 A， B重合），连接 PD， PC，我们把由 AB， BD， DP， PC， CA五条线段所组成的封闭图形 ABDPC叫做点 P的关联图形，如图 1所示.
（ 1）如图 2，当 P运动到半圆 O与 y轴的交点位置时，求点 P的关联图形的面积；
（ 2）如图 3，连接 CD， OC， OD，判断
OCD的形状，并加以证明；
（ 3）当点 P运动到什么位置时，点 P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求出面积的最大值.
分析与思考：
（ 1）当 P运动到半圆 O与 y轴的交点位置时，点 P的关联图形是正方形 AOPC+梯形 OPDB，据此求解；
（ 2）证明 OC垂直 CD，作出判断；
（ 3）连接 CD，因为梯形 ACDB的面积为定值，故要使点 P的关联图形的面积最大，就要使 PCD的面积最小，则连接 OC交半圆 O于点 P，应用三角形三边关系可证明点 P为所确定的点的位置，从而由点 P的关联图形的最大面积是梯形 ACDB的面积减去 PCD的面积，求得点 P的关联图形的最大面积.
解：（ 1）
A( -2， 0），
OA= 2
P是半圆 O上的动点， P在 y轴上，
OP= 2,
AOP= 90°
AC= 2，
四边形 AOPC是正方形，正方形的面积是 4.
又 BD AB， BD= 6,
梯形 OPDB的面积为 8.
点 P的关联图形的面积是 12.
（ 2） OCD是直角三角形，理由如下：
延长 CP交 BD于点 F，则四边形 ACFB为矩形，
CF= DF= 4， DCF= 45°，四边形 AOPC是正方形，
OCP= 45°.
OCD= 90°， OC CD.
OCD是直角三角形
（ 3）
连接 OC，设交半圆 O于点 P，
连接 OC交半圆 O于点 P，则点 P为所确定的点的位置，理由如下：
梯形 ACDB的面积为 16为定值。
要使点 P的关联图形的面积最大，就要使 PCD的面积最小，
CD为定长， P到 CD的距离就要最小.
连接 OC，设交半圆 O于点 P，
AC OA， AC= OA，
AOC= 45°.
过点 C作 CF BD于点 F，则 ACFB为矩形，
CF= DF= 4, DCF= 45°.
OC CD, OC= 2
.
PC在半圆外.
设在半圆 O上的任意一点
到 CD的距离为 H，
则 H+ O> OH+ OC.
OC= PC+ OP, H> PC.
当点 P运动到半圆 O与 OC的交点位置时，点 P的关联图形的面积最大.
CD= 4, CP= 2 -2, PCD的面积= 8-4.
又梯形 ACDB的面积= 16，
点 P的关联图形的最大面积是梯形 ACDB的面积 - PCD的面积= 8+ 4.
变式练习：
1.如图，在平面直角坐标系中，过点 O的圆 O 1与两坐标轴分别交于点 A（ 5， 0）， B（ 0， 3），点 C在弧 OA上，则 tan BCO等于_______.
温馨提示：
答案：
.
2.如图，经过原点 O的圆 C分别与
轴、
轴交于点 A， B， P为弧
上一点，若 OPA= 60°, OA= 4
,则点 B的坐标为___________.
温馨提示：
答案：（ 0， 4）
3.如图，在平面直角坐标中，以原点 O为圆心的圆过点 A（ 0， 3
），直线
与圆 O交于 B， C两点，则弦 BC的长的最小值为__________.
温馨提示：
=
（ -3）+ 4，所以直线过定点（ 3， 4）.
最短的弦 CB是过点 D且与该圆直径垂直的弦，
所以 OD= 5，
因为以原点 O为圆心的圆过点 A（ 0， 3），
圆的半径为 3.
所以 OB= 3,则 BD=
.
所以 BC的长的最小值为 4.
例 2.如图所示，在直角坐标系中，圆 P经过原点 O，且与轴、轴分别相交于 A（ -6， 0）、 B（ 0， -8）两点.
（ 1）求直线 AB的函数表达式；
（ 2）有一开口向下的抛物线过 B点，它的对称轴平行于 y轴且经过点 P，顶点 C在圆 P上，求该抛物线的函数表达式；
（ 3）设（ 2）中抛物线交轴于 D， E两点，在抛物线上是否存在点 Q,使得 S
=
S
？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.
分析与思考：
（ 1）已知两点求函数表达式易得；
解：（ 1）设直线 AB的函数表达式为：
，
直线 AB经过 A（ -6， 0）， B（ 0， -8），
由此可得
，解得
直线的函数表达式为：
.
（ 2）在 Rt AOB中，由勾股定理得： AB= 10.
圆 M经过 O， A, B三点，且 AOB= 90°，
AB为圆 M的直径，
半径 MA= 5，
设抛物线的对称轴交轴于点 N，
MN轴
由垂径定理得： AN= ON= 3.
在 Rt AMN中， MN= 4
CN= MC-MN= 1
顶点 C的坐标为（ -3， 1），
设抛物线的表达式：
它经过 B（ 0， -8），
把= 0， y= -8代入上式：
解得 a= -1，
所以抛物线的表达式：
=
（ 3）如图，连接 AC， BC
= 15
在抛物线=中，设 y= 0
则= 0
解得：= -2或 -4.
D， E的坐标分别是（ -4， 0），（ -2， 0）
DE= 2；
设在抛物线上存在点 P(, y），使得
= 1
则 y= 1或 -1.
当 y= 1，= 1
解得：= -3
所以 P（ -3， 1）
当 y= -1，= -1
解得：= -3+或 -3 -
所以 P（ -3+， -1）（ -3 -， -1）
