与二次函数相关的最值问题：
1.范围区间内求最值；
2.二次函数中的轴对称问题；
3.二次函数中的线段、周长、面积最值问题；
4.二次函数经济利润问题中求最值
典型例题：
例 1. 如图，已知二次函数
（ m为常数）.
（ 1）若这个二次函数的图象与
轴只有一个公共点 A，且点 A在轴的正半轴上
求 m的值；
‚四边形 AOBC是正方形，且点 B在 y轴上的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过 B， C两点，求平移后的图象对应的函数解析式.
（ 2）当
时，求函数的最小值（用含 m的代数式表示）
分析与思考：
（ 1）二次函数图象与轴只有一个公共点，可得
= 0，依此可得关于 m的方程，求解即可；
‚由得点 A的坐标为（ 2， 0），根据正方形的性质可得点 B的坐标为（ 0， -2），点 C的坐标为（ 2， -2）.根据待定系数法可求得平移后的图象对应的函数解析式
（ 2）根据对称轴的位置分三种情况讨论，求函数的最小值.
解：
（ 1）
二次函数的图象与轴只有一个公共点
= 0
整理得：
.
解得： m= 4或 -1.
由题意得点 A在轴的正半轴上，
所以 m= 4.
‚由得点 A的坐标为（ 2， 0）.
四边形 AOBC是正方形，点 B在 y轴的负半轴上，
点 B的坐标为（ 0， -2），点 C的坐标为（ 2， -2）.
设平移后的图象对应的解析式为：
解得：
所以平移后的图象对应的解析式为：
.
（ 2）函数的图象的顶点为（
，
），且开口向上的抛物线
分三种情况：
当< 0时， m< 0时，函数在内 y随的增大而增大，此时函数的最小值为
；
‚当 0≤≤ 2，即 0≤ m≤ 4时，函数的最小值为：；
ƒ当> 2，即 m> 4时，函数在内 y随的增大而减小，此时函数的最小值为
.
变式练习：
1.如图，抛物线
交坐标轴于 A， B， C三点， D是抛物线的顶点，点 M在对称轴上，点 P在坐标轴，给出以下结论：
（ 1）存在点 M，使 AMC是等腰直角三角形；
（ 2） AM+ CM的最小值是 3
；
（ 3） AM-CM的最大值是
；
（ 4）若 APC与 BCD相似，则点 P的坐标恰有两个.
其中正确的是________________（填序号
答案：（ 1）（ 2）（ 3）.
例 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与的负半轴交于点 A，与 y轴交于点 B（ 0， 4），已知点 E（ 0， 1）.
（ 1）求 m的值及点 A的坐标；
（ 2）如图，将 AEO沿轴向右平移得到
,连接
，
.
当点
落在二次函数的图象上时，求
的长；
‚设= n，其中 0< n< 2，试用含 n的式子表示
,并求出使取得最小值时点的坐标;
ƒ当
取得最小值时，求点的坐标
分析与思考：
（ 1）根据抛物线与 y轴交于点 B（ 0， 4），将点 B代入即可求出 m的值.
（ 2）由点 E可得出的值，进而得出的长；
‚连接 E，利用勾股定理，可以取的最小值；
ƒ首先利用轴对称找到的最小值，利用
与
相似，得出= E的值，进而得出点的坐标
解：
（ 1）把（ 0， 4）代入抛物线解析式，解得 m= 1，
所以二次函数的解析式：
，
所以点 A( -2,0).
（ 2）将 AEO沿轴向右平移得到
E与的纵坐标相同，都为 1，
=
=
；
‚连接 E
由题设知= n( 0< n< 2),则
= 2 - n.
在 Rt
中，由
,
得
因为：将 AEO沿轴向右平移得到，
//,且=.
B= 90°，= n.
又 BE= OB-OE= 3.
在 Rt B中，
,
所以：=
.
当 n= 1时，可以取得最小值，此时点的坐标是（ 1， 1）.
ƒ
过点 A作
轴，并使= BE= 3，
在 B和
中，
B
=
当点 B，
，
在同一直线上时，
最小，即此时取得最小值
易得==
.
所以点的坐标是（， 1）.
变式练习：
2.如图，抛物线
交轴于点 A（ 1， 0），交 y轴于点 B，对称轴是直线= 2.
（ 1）求该抛物线的解析式.
（ 2）点 P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使 PAB的周长最小？若存在，求出 P的坐标，若不存在，请说明理由.
答案：
（ 1）抛物线的解析式：
；
（ 2） P（ 2， 1）
