二次函数与四边形作为代数与几何中重要的章节,历来都是中考的必考内容。其中抛物线与特殊四边形的存在性问题,更是将数形结合的数学思想体现得淋漓尽致;四边形的存在性问题主要考查存在点,与已知点构成特殊的四边形的问题,主要有以下常见的形式:
( 1)是否存在点与已知点构成平行四边形;
( 2)是否存在点与已知点构成矩形;
( 3)是够存在点与已知点构成菱形.
这类问题把二次函数的性质和平面图形的性质有机结合,需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法
方法总结:
一、构造平行四边形的方法:通常要考虑以已知的线段“为边”和“为对角线”两种情况
二、构造矩形的方法:
1.先构造平行四边形
2.再利用矩形性质转化出其中一个角为 90°去寻找等量关系或利用对角线相等列等量关系.
三、构造菱形的方法:
1.先构造出平行四边形
2.再利用菱形性质转化出一组邻边相等去寻找等量关系即可
典型例题:
例 1.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过 A( -4, 0), B( 0, -4), C( 2, 0)三点.
( 1)求此抛物线的解析式;
( 2)若点 M为第三象限内抛物线上一动点,点 M的横坐标为 m, AMB的面积为 S.求 S关于 m的函数关系式,并求出 S的最大值.
( 3)若点 P是抛物线上的动点,点 Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使以点 P, Q, B, O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 Q的坐标.
分析与思考:
( 1)用待定系数法求函数解析式;
( 2)分类讨论:当 OB是平行四边形的边时,表示出 PQ的长,再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可;‚当 OB是对角线时,由图可知点 A和点 P应该重合。
解:
( 1)由题意可假设抛物线的解析式为:.
把点 C( 0, -4)代入,得到.
所以:.
( 2)(用上篇文章中的方法) AB直线方程为:.
设过点 M且与 AB平行的直线为:.
联立:只有一个交点,所以= 0.
所以 b= -6.
所以 m= -2, S有最大值: 4.
( 3)当 OB作为平行四边形的一条边时,得: PQ// OB.
所以:点 Q的横坐标=点 P的横坐标,
设点 Q( n, - n),则 P( n,)
所以 PQ=
n= -4,,.
当 OB作为平行四边形的对角线时,得点 P与点 A重合.
n= 4.
所以点 Q的坐标为:( 4, -4),( -4, 4),(,),(,)
变式练习:
1.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点 A, B,与 y轴交于点 C,直线经过 A, C两点.
( 1)求此抛物线的解析式;
( 2)在 AC上方的抛物线有一动点 P,如图,当点 P运动到某位置时,以 AP, AO为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点 P的坐标.
答案:
( 1)直线经过 A, C两点,所以点 A( -4,0), C( 0,4),
又因为抛物线经过 A, C两点,代入.
所以抛物线的解析式:.
( 2)以 AP, AO为邻边的平行四边形的第四个顶点 Q恰好也在抛物线上,
PQ// AO, PQ= AO= 4,
P, Q都在抛物线上, P, Q关于直线= -1对称,
P点的横坐标为 -3.
当= -3时, y=.
所以点 P的坐标为( -3,)
例 2.如图,抛物线与轴交于 A, B两点(点 A在点 B的左侧),与 y轴交于点 C, M是直线 BC下方抛物线上的一动点.
( 1)求 A, B, C三点的坐标;
( 2)连接 MO, MC,并把 MOC沿 CO翻折,得到四边形,那么是否存在点 M,使四边形为菱形?若存在,请求出此时点 M的坐标;若不存在,请说明理由.
分析与思考:
( 1)令 y= 0,可解方程得点 A, B的坐标,再令= 0,可得点 C的坐标;
( 2)根据菱形的性质可得垂直平分 OC,从而可求地 M点的坐标.
解:
( 1)令 y= 0,则
解得:= 4或 -1.
所以 A( -1, 0), B( 4, 0).
令= 0,则 y= -2.
所以 C( 0, -2).
( 2)设点 M( m,)
若四边形是菱形,
则垂直平分 OC,
因为 OC= 2,
所以 M点的纵坐标为 -1.
所以
解得:
根据题意可得:点 M的坐标为(, -1)
变式练习:
2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线(< 0)与轴交于 A, B两点(点 A在点 B的左侧),经过点 A的直线:与 y轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且 CD= 4 AC.
( 1)直接写出点 A的坐标,并求出直线的函数表达式
( 2)设 P是抛物线对称轴上的一点,点 Q在抛物线上,以点 A, D, P, Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,请求出点 P的坐标;若不能,请说明理由.
答案:
( 1) A( -1, 0),
直线:经过点 A,
令,
CD= 4 AC,
点 D的横坐标为 4
直线的函数表达式:.
( 2)令,
解得= -1或 4.
D( 4,5 a)
设 P( 1, m)
若 AD是矩形的一条边,则 Q( -4,21 a)
M= 21 a+ 5 a= 26 a,则 P( 1, 26 a)
四边形 ADPQ为矩形, ADP= 90°
即, a< 0, a=
点 P( -1,)
‚ AD是矩形的一条对角线
则线段 AD的中点坐标为(,), Q( 2,-3 a)
m= 5 a -( -3 a)= 8 a,则 P( 1, 8 a)
同理,解得,因为 a< 0,所以 a=
点 P( 1, -4)