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二次函数与四边形

二次函数与四边形作为代数与几何中重要的章节,历来都是中考的必考内容。其中抛物线与特殊四边形的存在性问题,更是将数形结合的数学思想体现得淋漓尽致;四边形的存在性问题主要考查存在点,与已知点构成特殊的四边形的问题,主要有以下常见的形式:

1)是否存在点与已知点构成平行四边形;

2)是否存在点与已知点构成矩形;

3)是够存在点与已知点构成菱形.

这类问题把二次函数的性质和平面图形的性质有机结合,需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法

方法总结:

一、构造平行四边形的方法:通常要考虑以已知的线段“为边”和“为对角线”两种情况

二、构造矩形的方法:

1.先构造平行四边形

2.再利用矩形性质转化出其中一个角为 90°去寻找等量关系或利用对角线相等列等量关系.

三、构造菱形的方法:

1.先构造出平行四边形

2.再利用菱形性质转化出一组邻边相等去寻找等量关系即可

典型例题:

1.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过 A-40), B0-4), C20)三点.

1)求此抛物线的解析式;

2)若点 M为第三象限内抛物线上一动点,点 M的横坐标为 m AMB的面积为 S.S关于 m的函数关系式,并求出 S的最大值.

3)若点 P是抛物线上的动点,点 Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使以点 PQBO为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 Q的坐标.

图片1

分析与思考:

1)用待定系数法求函数解析式;

2)分类讨论:当 OB是平行四边形的边时,表示出 PQ的长,再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可;‚当 OB是对角线时,由图可知点 A和点 P应该重合。

解:

1)由题意可假设抛物线的解析式为:.

把点 C0-4)代入,得到.

所以:.

2)(用上篇文章中的方法) AB直线方程为:.

设过点 M且与 AB平行的直线为:.

联立:只有一个交点,所以= 0.

所以 b= -6.

所以 m= -2S有最大值: 4.

3)当 OB作为平行四边形的一条边时,得: PQ// OB.

所以:点 Q的横坐标=点 P的横坐标,

设点 Qn, - n),则 Pn,

所以 PQ=

n= -4,,.

OB作为平行四边形的对角线时,得点 P与点 A重合.

n= 4.

所以点 Q的坐标为:( 4-4),( -44),(),(,)

变式练习:

1.在平面直角坐标系中,抛物线轴交于点 AB,与 y轴交于点 C,直线经过 A, C两点.

1)求此抛物线的解析式;

2)在 AC上方的抛物线有一动点 P,如图,当点 P运动到某位置时,以 APAO为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点 P的坐标.

8.png

答案:

1)直线经过 AC两点,所以点 A( -4,0), C( 0,4),

又因为抛物线经过 AC两点,代入.

所以抛物线的解析式:.

( 2)APAO为邻边的平行四边形的第四个顶点 Q恰好也在抛物线上,

PQ// AOPQ= AO= 4

PQ都在抛物线上, PQ关于直线= -1对称,

P点的横坐标为 -3.

= -3时, y=.

所以点 P的坐标为( -3

图片3

2.如图,抛物线轴交于 AB两点(点 A在点 B的左侧),与 y轴交于点 CM是直线 BC下方抛物线上的一动点.

1)求 ABC三点的坐标;

2)连接 MOMC,并把 MOC沿 CO翻折,得到四边形,那么是否存在点 M,使四边形为菱形?若存在,请求出此时点 M的坐标;若不存在,请说明理由.

图片4

分析与思考:

1)令 y= 0,可解方程得点 AB的坐标,再令= 0,可得点 C的坐标;

2)根据菱形的性质可得垂直平分 OC,从而可求地 M点的坐标.

解:

1)令 y= 0,则

解得:= 4-1.

所以 A-10), B40).

= 0,则 y= -2.

所以 C0-2).

2)设点 Mm,

若四边形是菱形,

垂直平分 OC

因为 OC= 2

所以 M点的纵坐标为 -1.

所以

解得:

根据题意可得:点 M的坐标为(-1

变式练习:

2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线< 0)与轴交于 AB两点(点 A在点 B的左侧),经过点 A的直线y轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且 CD= 4 AC.

1)直接写出点 A的坐标,并求出直线的函数表达式

2)设 P是抛物线对称轴上的一点,点 Q在抛物线上,以点 ADPQ为顶点的四边形能否成为矩形?若能,请求出点 P的坐标;若不能,请说明理由.

图片5

答案:

1A-10),

直线经过点 A

CD= 4 AC,

D的横坐标为 4

直线的函数表达式:.

2)令

解得= -14.

D( 4,5 a)

P1m

若 AD是矩形的一条边,则 Q( -4,21 a)

M= 21 a+ 5 a= 26 a,则 P126 a

四边形 ADPQ为矩形, ADP= 90°

a< 0, a=

P-1

图片6

AD是矩形的一条对角线

则线段 AD的中点坐标为(), Q( 2,-3 a)

m= 5 a -( -3 a)= 8 a,则 P18 a

同理,解得,因为 a< 0,所以 a=

P1-4

图片7