1.坐标系中处理面积问题,要寻找并利用__________的线;
几何中处理面积问题的思路:_________________________
2.坐标系中常考的三角形面积问题处理方法举例:
①割补求面积:
②转化求面积:
典型例题:
例 1.如图,抛物线经过 A( -1, 0)、 B( 3, 0)、 C( 0, 3)三点,顶点 E坐标为( 1, 4).
问题 1.;四边形 OCEB的面积=______________;
分析:对于 ABC的面积,由于边 AB在 x轴上,所以选择 AB为底, OC为高;
四边形 OCEB的面积是两个三角形面积之和;
BCE的面积可以用水平宽度乘以铅直高度的一半.
解:
=, A( -1, 0)、 B( 3, 0)、 C( 0, 3)
= 6.
过点 E作 ED垂直 AB于点 D.
四边形 OCEB的面积=梯形 CODE的面积+ EDB的面积;点 E( 1, 4)
四边形 OCEB的面积=+
所以四边形 OCEB的面积为: 7.5;
=四边形 OCEB的面积 - COB的面积
= 3
问题 2、点 M是直线 BC:上方抛物线上的点(不与 B、 C重合),连接 MB、 MC,是否存在点 M,使 BMC的面积最大?若存在,求出点 M的坐标及最大面积;若不存在,说明理由.
分析:
方法 1:用 x的把 BMC表示出来,再得到 M的坐标及面积的最大值;
方法 2:过 M作 CB的平行线,与抛物线只有一个交点,这个交点与 C、 B构成的三角形面积最大.
我们选择方法 2来给同学们讲解:
解:设过点 M,且平行于 BC的直线方程为:,
因为直线与抛物线只有一个交点,
所以联立:
= 0
点 M(,)
BMC的面积的最大值:.
问题 3、抛物线与直线交于 A、 D两点,其中 D点坐标为( 2, 3).在第四象限的抛物线上,是否存在点 H,使得 AHD的面积为 9?如果存在,求出 H的横坐标;如果不存在,请说明理由?
分析:
在四象限的点 H,与 A, D构成的三角形面积不容易求出;所以就过点 H作直线 AD的平行线,交 y轴于点 M,则 ADH的面积与 ADM的面积相等.
得到平移后的直线方程,它与抛物线的交点恰好是点 H.
解:过点 H作直线 AD的平行线,交 y轴于点 M.过点 M作 AD直线的垂线段.
AD// MH
点 A( -1, 0),点 D( 2, 3)
AD=
== 9
MN= 6
OM= 5
直线 MH的方程为:
联立:
所以点 H的横坐标为:.
问题 4、在抛物线上是否存在点 F(不与 C重合),使得 ABC的面积等于 ABF的面积,若存在,求出 F点的横坐标;若不存在,说明理由.
分析:充分利用同底等高的思想来找到与 ABC的面积相等的 ABF.
解:过点 C作 AB的平行线交抛物线于点 F 1.
则 ABC的面积= ABF 1的面积
所以点 F 1( 2, 3).
过点 A作 BC的平行线交抛物线于点 F 2.
则 ABC的面积= ABF 2的面积
所以点 F 2( 4, -5)
过点 B作 AC的平行线交抛物线于点 F 3
则 ABC的面积= ABF 3的面积
所以点 F 3( -4, -21)
综上所述: F的横坐标为: 2, 4, -4.
变式练习:
1.如图,抛物线对称轴与抛物线交于点 E,与直线 BC交于点 M,连接 EB.抛物线上是否存在异于点 E的一点 Q,使 QMB与 EMB的面积相等?若存在,求出点 Q的横坐标;若不存在,说明理由.
温馨提示:
过点 E作 MB的平行线交抛物线于点 Q.
答案:点 Q( 2, 3)
2.在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点 R,使 REM与 RBM的面积相等?若存在,求出点 R的坐标;若不存在,说明理由.
温馨提示:
把点 R的坐标( r, - r+ 2 r+ 3)
所以 EMR的面积为: EM( r -1)
RBM的面积为:( - r+ 2 r+ 3)
所以 EM( r -1)=( - r+ 2 r+ 3)
所以 r= 1+
R( 1+, 2)