一．二次函数的实际应用常考题型：

（ 1）二次函数的实际应用；

（ 2）建立平面直角坐标系，用二次函数图象解决实际问题；

（ 3）二次函数中的利润问题；

（ 4）二次函数与几何图形的实际问题；

二．解决二次函数实际应用问题的基本思路是：

（ 1）理解问题；

（ 2）分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

（ 3）用数学的方式表示它们之间的关系；

（ 4）做函数求解，检验结果的合理性，拓展等.

典型例题：

例 1.某公司销售某种商品，其标价为 100元，现在打 6折销售仍然获利 50%，为扩大销量，公司决定在打 6折的基础上再降价，规定顾客每再多买 1件，顾客购买的所有商品的单价再少 1元，但不能出现亏损的情况.设顾客购买商品（件），公司获得的利润为 W（元）.

（ 1）该商品的进价是多少元？

（ 2）求 W关于的函数关系式并求公司销售利润的最大值；

（ 3）公司发现在某一范围内会出现顾客购买件数越多公司利润反而越少的情况，为避免出现这种情况，应规定最低售价为多少元？

分析与思考：

1.利用实际售价为等量关系列出方程解答；

2.根据题意可以得到 W关于的函数关系式，将 W关于的函数关系式化为顶点式，即可求出最大值；

3.由（ 2）题的函数关系式，再根据本题提供的信息可以解答本题.

解：

（ 1）设商品的进价为元，根据题意可得：

解得= 40.

答：该商品的进价是 40元.

（ 2）根据题意可得： W=( 20 -)= 20-=-( -10)+ 100.

当= 10时， W有最大值，此时 W= 100.

答： W与的函数关系式是：-( -10)+ 100，公司利润的最大值是 100元.

（ 3）由（ 2）问可知，当= 10元时，取得最大值，当< 10元时，利润会降低，

故最低售价为： 40+ 10= 50（元）.

答：应规定最低售价为 50元.

变式练习：

1.一个批发商销售成本为 20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过 90元，在销售过程中发现销售量 y（千克）与售价（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：

（ 1）求 y关于的函数关系式；

（ 2）该批发商若想获得 4000元的利润，应将售价定为多少元?

（ 3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润 W（元）最大？此时最大利润为多少元？

答案：

解：

（ 1）设 y与的函数关系式为，根据题意得：

解得：

答： y与的函数关系式为： y= -+ 150.

（ 2）根据题意可得：

（-+ 150）（ -20）= 4000.

解得：= 70或 100，而 100> 90(不合题意，舍）

答：批发商想获得 4000元的利润，应将售价定为 70元.

（ 3） W与的函数关系式为：

W=（ -+ 150）（ -20）

=-+ 170 -3000

=-（ -85）+ 4225

当= 85时， W值最大， W最大值是 4225.

答：产品每千克售价为 85元时，批发商获得的利润 W（元）最大，此时的最大利润为 4225元.

例 2.某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形 ABCD，已知木栏总长为 120 m，设 AB边的长为 m，长方形 ABCD的面积为 Sm.

（ 1）求 S与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）当为何值时， S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值

（ 2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为 O 1和 O 2，且点 O 1到 AB， BC， AD的距离与 O 2到 CD， BC， AD的距离相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够 0.5 m宽的平直路面，以方便同学们参观学习.当（ 1）中 S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，请求出圆的半径；若不可行，请说明理由

分析与思考：

（ 1）表示出 BC的长 120-2，由矩形的面积公式得出答案；

（ 2）设出圆的半径和药材种植区外四周平面路面的宽，利用题目中的等量关系列出二元一次方程组，求出半径和路面宽，当路面宽满足题目要求时，方程可行，否则不行.

解：

（ 1）设 AB边的长为 m，则 BC的长为（ 120-2） m.

所以 S=（ 120-2）= -2+ 120；

当= 30时， S有最大值为： 1800元.

（ 2）设圆的半径为米，路面宽为 a米.

根据题意得：

解得：

因为路面宽至少要留够 0.5米宽，

所以这个设计不行

变式练习：

2.李大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为 32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD.设 AB边的长为米，矩形 ABCD的面积为 S平方米.

（ 1）求 S与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

（ 2）当为何值时， S有最大值？并求出最大值

答案：

（ 1）由题意得： S= AB BC=（ 32-2）

S= -2+ 32.

（ 2）< 0，

S有最大值.

当= 8时， S的最大值为 128平方米.

例 3.由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖，某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为 0.1万元/台，并预付了 5万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于 34万元，但不高于 40万元，若一年内该产品的售价 y（万元/台）与月次（ 1 12且为整数）满足关系式：