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初识“二次函数”( 2

初中对于函数的学习主要是一次函数和二次函数,其中二次函数是最难的一部分内容。二次函数问题除了考查学生解题能力,还重点考察学生的实际应用能力。有部分学生对于简单一点的二次函数问题还能应付,但是稍微有一些难度的应用问题,就显得比较困难了。本文就结合初中二次函数的特点,和同学们一起学习。

四.根据条件确定二次函数的解析式

1.一般式:a, b, c为常数,);

2.顶点式:a, h, k为常数,);

3.交点式:是抛物线与轴的两个交点的横坐标)

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示,二次函数解析式的这三种形式可以互化。

1.1)已知二次函数的图象经过点( -1-5),( 0-4),( 11),则这个二次函数的表达式为___________________.

分析:根据待定系数法,设此二次函数的解析式),把三个点的坐标代入,即可求出抛物线的解析式

解:设二次函数的解析式,把三个点的坐标代入:

解析式:.

2)已知二次函数图象经过( 10),( 20),( 02)三点,则该函数图象的解析式是______________________.

分析:由于题中已知抛物线与轴的两个交点坐标,则可设,把点( 02)代入就得到 a的值,就可求出函数的解析式.

解:设,把( 02)代入,

a= 1,

解析式:

3)已知某二次函数的图象如图,则这个二次函数的解析式为__________________.

图片13

分析:利用顶点式求二次函数的解析式:设二次函数,然后把( 00)代入就可求出 a.

解:设二次函数,把( 00)代入

得到 a= -3.

解析式:.

变式练习:

1.二次函数图象如图,则其解析式为_________________

图片14

答案:

2.过点( 10),( 30),( -12)三点的抛物线的顶点坐标是__________________.

答案:

顶点坐标为( 2

3.已知二次函数的图象经过点( -10),( 40),则 c=________.

答案: c= -4.

五.二次函数的平移

1)将抛物线解析式转化成顶点式,确定顶点坐标();

2)保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到()处,具体平移方法如下:

2. 把抛物线先向右平移 2个单位,再向上平移 3个单位,平移后抛物线的表达式是__________________.

分析:先确实顶点坐标为( 00),再根据点平移的规律得到点( 00)平移后

图片15

对应点的坐标,然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式

解:抛物线的顶点坐标为( 00),向右平移 2个单位,再向上平移 3个单位所得对应点的坐标为( 23),所以平移后抛物线的表达式为:.

变式练习:

4.将抛物线向左平移 3个单位,再向下平移 4个单位,那么得到的抛物线的表达式为:________________________.

答案:

5.如果将抛物线向下平移 1个单位,那么所得新抛物线的表达式是_____________.

答案:

六.二次函数与一元二次方程:

一元二次方程是二次函数当函数值 y= 0的特殊情况.图象与轴的交点个数:

1)当> 0时,图象与轴交于两点,这两点间的距离 AB==.

2)当= 0,图象与轴只有一个交点;

3)当< 0,图象与轴没有交点

3.已知二次函数轴只有一个交点,且图象过 Am), B+ nm)两点,则 mn的关系为()

分析:由抛物线与轴只有一个交点,得到= 0,即其次,根据抛物线对称轴的定义知点 A, B关于对称轴对称.得出结果

解:因为抛物线轴只有一个交点,

所以

由题意 Am), B+ nm),所以 AB

关于直线对称,

A(), B);将 AB两点坐标代入抛物线解析式,

得到 m=

因为

所以.

变式练习:

6.如果函数的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么 a的取值范围是___________________.

温馨提示:

函数图象经过四个象限,需满足 3个条件:

1)函数是二次函数;

2)二次函数与 x轴有两个交点;

3)二次函数与 y轴的正半轴相交.

答案: a< -5.