初中对于函数的学习主要是一次函数和二次函数,其中二次函数是最难的一部分内容。二次函数问题除了考查学生解题能力,还重点考察学生的实际应用能力。有部分学生对于简单一点的二次函数问题还能应付,但是稍微有一些难度的应用问题,就显得比较困难了。本文就结合初中二次函数的特点,和同学们一起学习。
四.根据条件确定二次函数的解析式
1.一般式:( a, b, c为常数,);
2.顶点式:( a, h, k为常数,);
3.交点式:(,是抛物线与轴的两个交点的横坐标)
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示,二次函数解析式的这三种形式可以互化。
例 1.( 1)已知二次函数的图象经过点( -1, -5),( 0, -4),( 1, 1),则这个二次函数的表达式为___________________.
分析:根据待定系数法,设此二次函数的解析式(),把三个点的坐标代入,即可求出抛物线的解析式
解:设二次函数的解析式,把三个点的坐标代入:
解析式:.
( 2)已知二次函数图象经过( 1, 0),( 2, 0),( 0, 2)三点,则该函数图象的解析式是______________________.
分析:由于题中已知抛物线与轴的两个交点坐标,则可设,把点( 0, 2)代入就得到 a的值,就可求出函数的解析式.
解:设,把( 0, 2)代入,
则 a= 1,
解析式:
( 3)已知某二次函数的图象如图,则这个二次函数的解析式为__________________.
分析:利用顶点式求二次函数的解析式:设二次函数,然后把( 0, 0)代入就可求出 a.
解:设二次函数,把( 0, 0)代入
得到 a= -3.
解析式:.
变式练习:
1.二次函数图象如图,则其解析式为_________________
答案:
2.过点( 1, 0),( 3, 0),( -1, 2)三点的抛物线的顶点坐标是__________________.
答案:
顶点坐标为( 2,)
3.已知二次函数的图象经过点( -1, 0),( 4, 0),则 c=________.
答案: c= -4.
五.二次函数的平移
( 1)将抛物线解析式转化成顶点式,确定顶点坐标();
( 2)保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到()处,具体平移方法如下:
例 2. 把抛物线先向右平移 2个单位,再向上平移 3个单位,平移后抛物线的表达式是__________________.
分析:先确实顶点坐标为( 0, 0),再根据点平移的规律得到点( 0, 0)平移后
对应点的坐标,然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式
解:抛物线的顶点坐标为( 0, 0),向右平移 2个单位,再向上平移 3个单位所得对应点的坐标为( 2, 3),所以平移后抛物线的表达式为:.
变式练习:
4.将抛物线向左平移 3个单位,再向下平移 4个单位,那么得到的抛物线的表达式为:________________________.
答案:
5.如果将抛物线向下平移 1个单位,那么所得新抛物线的表达式是_____________.
答案:
六.二次函数与一元二次方程:
一元二次方程是二次函数当函数值 y= 0的特殊情况.图象与轴的交点个数:
( 1)当> 0时,图象与轴交于两点,这两点间的距离 AB==.
( 2)当= 0,图象与轴只有一个交点;
( 3)当< 0,图象与轴没有交点
例 3.已知二次函数与轴只有一个交点,且图象过 A(, m), B(+ n, m)两点,则 m, n的关系为()
分析:由抛物线与轴只有一个交点,得到= 0,即其次,根据抛物线对称轴的定义知点 A, B关于对称轴对称.得出结果
解:因为抛物线与轴只有一个交点,
所以,
由题意 A(, m), B(+ n, m),所以 A, B
关于直线对称,
A(), B();将 A, B两点坐标代入抛物线解析式,
得到 m=,
因为,
所以.
变式练习:
6.如果函数的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么 a的取值范围是___________________.
温馨提示:
函数图象经过四个象限,需满足 3个条件:
( 1)函数是二次函数;
( 2)二次函数与 x轴有两个交点;
( 3)二次函数与 y轴的正半轴相交.
答案: a< -5.