初中对于函数的学习主要是一次函数和二次函数，其中二次函数是最难的一部分内容。二次函数问题除了考查学生解题能力，还重点考察学生的实际应用能力。有部分学生对于简单一点的二次函数问题还能应付，但是稍微有一些难度的应用问题，就显得比较困难了。本文就结合初中二次函数的特点，和同学们一起学习。
一、二次函数的概念：
1.二次函数的概念：一般地，形如：
（
为常数，
）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而
可以为零二次函数的定义域是全体实数
2.二次函数的结构特征：
（ 1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2.
（ 2）是常数，
是二次项系数，
是一次项系数，
是常数项
例 1.下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案。
解： B.
例 2.已知
是
关于
的二次函数，那么 m的值为（）
A. -2
B. 2
C.
2
D. 0
分析：根据最高次为 2，系数，可得答案
解： A
例 3.下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系
B.当距离一定时，汽车行驶的时间 t与速度之间的关系
C.矩形的面积 s和矩形的宽之间的关系
D.等边三角形的面积 s与边长之间的关系
分析：根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可。
解： D
变式练习：
1.下列函数中不是二次函数的有（ ）
A.
B. B.
C.
D.
2.若
是二次函数，则 m的值是（）
A. 2
B. 2
C. -2
D.无法确定
3.已知矩形窗户的周长是 6 cm，写出窗户的面积 y（
）与窗户的一边长（ m）之间的函数关系式，并判断此函数是不是二次函数；如果是，请求出自变量的取值范围
答案：
1. D
2. B
3.
(
)
二、二次函数的图象与性质：
二次函数的基本形式
的性质；
a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
例 4.二次函数
的图象如图，则反比例函数
与一次函数
在同一坐标系内的图象大致是（ ）
分析：根据二次函数的开口方向，对称轴，和 y轴的交点可得相关图象.
解： D.
例 5.关于抛物线
，下列说法错误的是（ ）
A.开口向上
B.与轴有两个重合的交点
C.对称轴是直线= 1
D.当> 1时， y随的增大而减小
解： B.
例 6.如图，已知二次函数的图象与轴交于点 A（ -1， 0），与 y轴的交点 B在（ 0， -2）和（ 0， -1）之间（不包括这两点），对称轴为直线= 1.
下列结论：
（ 1）
；（ 2）
；（ 3）
；（ 4）
；
（ 5）
其中含有正确结论的选项是（ ）
A. ( 1)( 3)
B. ( 1)( 3)( 4)
C. ( 2)( 4)( 5)
D. ( 1)( 3)( 4)( 5)
分析：
根据对称轴为= 1及图象开口向上可判断出的符号，从而判断（ 1）；根据对称轴得到函数图象经过（ 3， 0），则得到（ 2）的判断；根据图象经过（ -1， 0）可得到之间的关系，从而对（ 2），（ 5）作判断；从图象与 y轴的交点 B在（ 0， -2）和（ 0， -1）之间可以判断 c的大小得出（ 4）的正误.
变式练习：
4.已知函数
（是常数，
0），下列结论正确的是（）
A.当= 1时，函数图象过点（ -1， 1）
B.当= -2时，函数图象与轴没有交点
C.若> 0，则当
1时， y随的增大而减小
D.若< 0，则当
1时， y随的增大而增大
答案： D.
5.二次函数
的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ）
A.抛物线开口向下
B.抛物线经过点（ 2， 3）
C.抛物线的对称轴是直线= 1
D.抛物线与轴有两个交点
答案： B.
6.二次函数的图象如图，反比例函数
与正比例函数
在同一坐标系内的大致图象是（ ）
答案： C.
三、利用二次函数的对称性解题：
1.当> 0时，抛物线开口向上，对称轴为
，顶点坐标为（
，
)
当
时， y随的增大而减小；
当
时， y随的增大而增大；
当时， y有最小的值.
2.当< 0时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为（，)
当时， y随的增大而增大；
当时， y随的增大而减小；
当时， y有最大的值.
例 7.二次函数图象上部分点的坐标（
）对应列表如下：
则该函数图象的对称轴是（ ）
A.直线= -3
B.直线= -2
C.直线= -1
D.直线= 0
分析：根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可
解：因为= -3和 -2时的函数值都是 -3相等，所以二次函数的对称轴为直线= -2.
选： B.
变式练习：
7.点
（ -1，
），
（ 3，
），
（ 5，
）均为二次函数
的图象上，则
的大小关系是_____________
答案：
