近几年中考，涉及反比例函数图像的考题，综合性强，难度在加大。一般来说，通过计算得不出答案时，可以用方程来解答，所用的相等关系，主要是反比例函数图像的性质、已知条件或是由图形性质得出的一些相关结论。
例 1、如图，在矩形 OABC中， OA= 3， OC= 2， F是 AB上的一个动点（ F不与 A、 B重合），过点 F的反比例函数
的图像与 BC边交于点 E.
（ 1）当 F为 AB的中点时，求该函数的解析式；
（ 2）当
为何值时，
EFA的面积最大，最大面积是多少？
解：（ 1）因为在矩形 OABC中， OA= 3, OC= 2，所以点 B（ 3， 2）.因为点 F为 AB的中点，所以 F（ 3， 1），因为点 F在反比例函数的图像上，所以= 3，所以函数的解析式：
.
（ 2）由题意可知： E、 F两点坐标分别为 E（
， 2）、 F（ 3，
），所以
=
=
，当= 3时， S有最大值，
.
变式练习：
1、在平面直角坐标系中，函数
是常数）的图像经过点 A（ 1， 4）、点 B（ a, b），其中 a> 1.过点 A作 x中的垂线，垂足为 C，过点 B作 y轴的垂线，垂足为 D， AC与 BD相交于点 M，连结 AD、 DC、 CB与 AB.
（ 1）求 m的值；
（ 2）求证： DC// AB；
（ 3）当 AD= BC时，求直线 AB的函数解析式.
答案：
（ 1） m= 4；
（ 2）提示：只要证明
，即可得到 DC// AB；
（ 3）当 ABCD是平行四边形时，
；
当 ABCD是等腰梯形时，
.
例 2、如图，已知直线
与双曲线交于 A、 B两点，且点 A的横坐标为 4.
（ 1）求的值；
（ 2）若双曲线上一点 C的纵坐标为 8，求 AOC的面积；
（ 3）过原点 O的另一条直线
交双曲线于 P、 Q两点（ P点在第一象限），若由点 A、 B、 P、 Q为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P的坐标.
分析与思考：
（ 1）先得出 A的坐标，就可得到的值；
（ 2）由（ 1）可得到 C的坐标，所以易得 AOC的面积；
（ 3）根据中心对称性可得答案.
解：
（ 1）当 A的横坐标为 4时， A的纵坐标为 2.
因为点 A是双曲线上的点，
所以：= 8；
（ 2）
因为点 C在双曲线上，点 C的纵坐标为 8，则点 C的横坐标为 1；
所以点 C（ 8， 1）.
过点 A、 C分别做 x轴、 y轴的垂线，垂足为 M、 N,得到矩形 DMON，
所以矩形 ONDM的面积为 32， ONC的面积为 4， CDA的面积为 9， OAM的面积为 4，所以 AOC的面积为 15.
（ 3）
因为反比例函数图像是关于原点 O的中心对称图形，
所以 OP= OQ， OA= OB，
所以四边形 APBQ是平行四边形
所以 POA的面积=平行四边形 APBQ的面积的四分之一= 6
设点 P的横坐标为 m（ m> 0且 m不等于 4）
得到点 P（ m，
）
过点 P、 A分别做 x轴的垂线，垂足为 E、 F.
因为点 P、 A在双曲线上，
所以 POA的面积= FOA的面积= 4.
若 0< m< 4，
因为 POE的面积+梯形 PEFA的面积= POA的面积+ FOA的面积
所以梯形 PEFA的面积= POA的面积= 6
所以
解得 m= 2， m= -8（舍）
所以 P（ 2， 4）
若 m> 4时，
解得 m= 8， m= -2（舍去）
所以点 p（ 8， 1）
综上所述：点 p（ 2， 4）或（ 8， 1）.
变式练习：
2、如图，一次函数
的图像与反比例函数
（为常数，
0）的图像交于 A（ 1， a）、 B两点.
（ 1）求反比例函数的表达式及点 B的坐标；
（ 2）在 x轴上找一点 P，使 PA+ PB的值最小，求满足条件的点 P的坐标及 PAB的面积.
答案：
（ 1）反比例函数的表达式：，点 B（ 3， 1）
（ 2）点 P（
， 0）， PAB的面积
.
例 2、如图，在平面坐标系中，直线 AB与 x轴交于点 B，与 y轴交于点 A，与反比例函数
的图像在第二象限交于点 C， CE垂直 x轴，垂足为点 E，且
， OB= 4， OE= 2.
（ 1）求反比例函数的解析式；
（ 2）若点 D是反比例函数图像在第四象限上的点，过点 D作 DF垂直 y轴，垂足为点 F，连接 OD、 BF，如果
，求点 D的坐标.
分析与思考：
（ 1）得到点 C的坐标代入；
（ 2）由题意得出 AF的长度，再得到 OF的长；最后求出 D的坐标.
解：
（ 1）
BE= OE+ OB， OB= 4， OE= 2，
BE= 6
CE= 3
点 C的坐标为（ -2， 3）
（ 2）
AF
OB= 4
OF FD
设点 D（ a, b）
a b= -6， 2 - b= b a
b= -4， a=，
所以 D（， -4）
