三角形相似性质的知识表面上看在题目中直接考查较少,容易在学习中误以为不重要,以致忽略不重视,但这部分知识实际上是融入解决其他问题而考查并得到运用的。老师建议同学们多总结一些辅导解题的知识点,帮助解题时能准确和灵活运用。
典型例题:
例 1、在 Rt ABC中, A= 90°, D、 E分别为 AB、 AC上的点.
( 1)如图 1、 CE= AB, BD= AE,过点 C作 CF// EB,且 CF= EB,连接 DF交 EB于点 G,连接 BF,请你写出的值;并说明理由。
( 2)如图 2、 CE= kAB, BD= kAE,,求 k的值.
分析:可以构造以 CE、 BE为邻边的平行四边形来转移线段和角度进而构造相似三角形.
( 1)
理由如下:
CF// EB,且 CF= EB
四边形 BFCE是平行四边形
BF// CE, BF= CE
DBF= 180° - A= 90°
A= 90°, A= DBF
CE= AB, AB= BF
在 ABE和 BFD中:
ABE BFD
DF= BE, ABE= BFD
CF// BE
EBF+ BFC= 180°
CFD= 180° - BFD - EBF= 180° - ABE - EBF= 180° - ABF= 90°
CDF是等腰直角三角形
DC= CF
CF= EB
( 2)过点 C作 CF// BE,且是 CF= BE,则四边形 BFCE是平行四边形.
BF// CE, BF= CE
DBF= 180° - A= 90°
A= 90°,
A= DBF
CE= kAB, BD= kAE
ABE∽ BFD
, ABE= BFD
CF= BE
DF= kCF
CF// BE
EBF+ BFC= 180°
CFD= 180° - BFD - EBF= 180° - ABE-EBF= 180° - ABF= 90°
DC= CF
解得:(舍)
变式练习:
1、已知:在 ABC中, BAC= 60°.
( 1)如图 1、若 AB= AC,点 P在 ABC内,且 PB= 5, PA= 3, PC= 4,请直接写出 APC的度数;
( 2)如图 2、若 AB= AC,点 P在 ABC外,且 PA= 3, PB= 5, PC= 4,求 APC的度数;
( 3)如图 3、若 AB= 2 AC,点 P在 ABC内,且 PB=, PB= 5, APC= 120°,请直接写出 PC的长.
温馨提示:
利用角度和线段比例关系构造旋转型相似
解:
( 1)提示:把 APC绕点 A顺时针旋转,使点 C旋转到点 B处,得到 ADB,连接 DP.
APC= 150°
( 2)把 APC绕点 A顺时针旋转,使点 C旋转到点 B处,得到 ADB,连接 DP.
易得 ADP为等边三角形,
所以 APC -30°
( 3) PC= 2
例 2、点 B、 C、 E在同一直线上,点 A、 D在直线 CE同侧, AB= AC, ED= EC, BAC= CED= 70°,直线 AE、 BD交于点 F.
( 1)如图 1、求证: BCD∽ ACE,并求出 AFB的度数;
( 2)将如图 1中的 ABC绕点 C旋转一定角度,得到图 2,求 AFB的度数;
( 3)如图 3,在矩形 ABCD和矩形 DEFG中, AB= 1, AD= ED=, DG= 3,直线 AG、 BF交于点 H,请直接写出 AHB的度数.
分析:
( 1)由题意易得 ABC∽ EDC,进一步证明 BCD∽ ACE,进而可得角相等;
( 2)同理( 1);
( 3)根据矩形的性质、勾股定理可得.
( 1)证明: AB= AC, EC= ED, BAC= CED= 70°
ACB= DCE= 55°,
ABC∽ EDC
BCD= ACE
BCD∽ ACE
AFB= 180° - CAE - BAC - ABD= 180° - BAC - ABC= ACB.
AFB== 55°
( 2) AB= AC, EC= ED, BAC= CED
ACB= DCE= 55°
ABC∽ EDC
BCD= ACE
BCD∽ ACE
CBD= CAE
BDC= AEC
AFB= 180° - DCE
AB= AC, EC= ED, BAC= CED= 70°
DCE= 55°
AEB= 125°.
( 3)连接 BD、 DF,在矩形 ABCD和矩形 DEFG中
BAD= ADC= EDG= E= 90°
且 AB= 1, AD= DE=, DG= 3,
BD=, DF=
,
ADB= FDG= 30°
ADG= 90°+ ADE, BDF= ADB+ ADE+ EDF= 90°+ ADE.
ADG= BDF
ADG∽ BDF
GAD= FBD
DAH= AHB= HBD+ ADB,且 DAH= HBD
AHB= ADB= 30°
变式练习:
2、如图,已知矩形 ABCD中, AB= 2, BC= 6,点 E从点 D出发,沿 DA方向以每秒 1个单位的速度向 A运动,点 F从点 B出发,沿射线 AB以每秒 3个单位的速度运动,当点 E运动到点 A时, E、 F两点停止运动,连接 BD,过点 E作 EH BD,垂足为 H,连接 EF,交 BD于点 G,交 BC于点 M,连接 CF.给出下列结论:( 1) CDE∽ CBF;( 2) DBC= EFC;( 3);( 4) GH的值为定值上述结论中正确的个数为( )
答案:( 1)( 2)( 4)