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“中考”试题中的“相似三角形”( 3

三角形相似性质的知识表面上看在题目中直接考查较少,容易在学习中误以为不重要,以致忽略不重视,但这部分知识实际上是融入解决其他问题而考查并得到运用的。老师建议同学们多总结一些辅导解题的知识点,帮助解题时能准确和灵活运用。

典型例题:

1、在 Rt ABC中, A= 90°, DE分别为 ABAC上的点.

1)如图 1CE= ABBD= AE,过点 CCF// EB,且 CF= EB,连接 DFEB于点 G,连接 BF,请你写出的值;并说明理由。

2)如图 2CE= kABBD= kAE,求 k的值.

分析:可以构造以 CEBE为邻边的平行四边形来转移线段和角度进而构造相似三角形.

图片1

1

理由如下:

CF// EB,且 CF= EB

四边形 BFCE是平行四边形

BF// CEBF= CE

DBF= 180° - A= 90°

A= 90°, A= DBF

CE= AB AB= BF

ABE BFD中:

ABE BFD

DF= BE ABE= BFD

CF// BE

EBF+ BFC= 180°

CFD= 180° - BFD - EBF= 180° - ABE - EBF= 180° - ABF= 90°

CDF是等腰直角三角形

DC= CF

CF= EB

2)过点 CCF// BE,且是 CF= BE,则四边形 BFCE是平行四边形.

图片2

BF// CE, BF= CE

DBF= 180° - A= 90°

A= 90°,

A= DBF

CE= kABBD= kAE

ABE BFD

, ABE= BFD

CF= BE

DF= kCF

CF// BE

EBF+ BFC= 180°

CFD= 180° - BFD - EBF= 180° - ABE-EBF= 180° - ABF= 90°

DC= CF

解得:(舍)

变式练习:

1、已知:在 ABC中, BAC= 60°.

1)如图 1、若 AB= AC,点 P ABC内,且 PB= 5PA= 3, PC= 4,请直接写出 APC的度数;

2)如图 2、若 AB= AC,点 P ABC外,且 PA= 3, PB= 5, PC= 4,求 APC的度数;

3)如图 3、若 AB= 2 AC,点 P ABC内,且 PB=, PB= 5 APC= 120°,请直接写出 PC的长.

图片3

温馨提示:

利用角度和线段比例关系构造旋转型相似

解:

1)提示:把 APC绕点 A顺时针旋转,使点 C旋转到点 B处,得到 ADB,连接 DP.

APC= 150°

2)把 APC绕点 A顺时针旋转,使点 C旋转到点 B处,得到 ADB,连接 DP.

易得 ADP为等边三角形,

所以 APC -30°

图片4

( 3) PC= 2

2、点 BCE在同一直线上,点 AD在直线 CE同侧, AB= ACED= EC, BAC= CED= 70°,直线 AEBD交于点 F.

1)如图 1、求证: BCD ACE,并求出 AFB的度数;

2)将如图 1中的 ABC绕点 C旋转一定角度,得到图 2,求 AFB的度数;

3)如图 3,在矩形 ABCD和矩形 DEFG中, AB= 1AD= ED=, DG= 3,直线 AGBF交于点 H,请直接写出 AHB的度数.

图片5

1.jpg

2.jpg

分析:

1)由题意易得 ABC EDC,进一步证明 BCD ACE,进而可得角相等;

2)同理( 1);

3)根据矩形的性质、勾股定理可得.

1)证明: AB= AC, EC= ED, BAC= CED= 70°

ACB= DCE= 55°,

ABC EDC

BCD= ACE

BCD ACE

AFB= 180° - CAE - BAC - ABD= 180° - BAC - ABC= ACB.

AFB== 55°

2 AB= ACEC= ED, BAC= CED

ACB= DCE= 55°

ABC EDC

BCD= ACE

BCD ACE

CBD= CAE

BDC= AEC

AFB= 180° - DCE

AB= AC, EC= ED, BAC= CED= 70°

DCE= 55°

AEB= 125°.

3)连接 BDDF,在矩形 ABCD和矩形 DEFG

图片8

BAD= ADC= EDG= E= 90°

AB= 1, AD= DE=, DG= 3

BD=, DF=

,

ADB= FDG= 30°

ADG= 90°+ ADE BDF= ADB+ ADE+ EDF= 90°+ ADE.

ADG= BDF

ADG BDF

GAD= FBD

DAH= AHB= HBD+ ADB,且 DAH= HBD

AHB= ADB= 30°

变式练习:

2、如图,已知矩形 ABCD中, AB= 2, BC= 6,点 E从点 D出发,沿 DA方向以每秒 1个单位的速度向 A运动,点 F从点 B出发,沿射线 AB以每秒 3个单位的速度运动,当点 E运动到点 A时, EF两点停止运动,连接 BD,过点 EEH BD,垂足为 H,连接 EF,交 BD于点 G,交 BC于点 M,连接 CF.给出下列结论:( 1 CDE CBF;( 2 DBC= EFC;( 3;( 4GH的值为定值上述结论中正确的个数为( )

3.jpg

答案:( 1)( 2)( 4