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“中考”试题中的“相似三角形”( 1

上两节内容,主要是给同学们总结了一些相似三角形的基本模型,今天我们从近年来的中考题中的“相似”,再来体会一些基本的思路。

典型例题:

1、(武汉中考题)如图,在四边形 ABCD中, ABC= 90°, AB= 3BC= 4CD= 10DA=,则 BD的长为_______________.

图片1

分析:观察到 AC= 5,再考虑 CDDA的长度之间特殊关系可以知道 ACD是直角,联系到 ABC= 90°,想到了“ K”型的构造。

解:连接 AC.过点 DBC边上的高,交 BC延长线于点 H.

图片2

Rt ABC中, AB= 3BC= 4,所以 AC= 5,

CD= 10, DA=,可知 ACD为直角三角形,且 ACD90°.

易证明 ABC CHD,则 CH= 6, DH= 8.

所以 BD= 2.

变式练习:

1、如图,在 ABC中, BAC= 60°, ABC= 90°,直线之间距离是 1之间距离是 2,且分别经过点 ABC,则边 AC的长为_______________.

2.jpg

温馨提示:

图片4

如图,过点 BEF垂直,交于点 EF.

易得 AEB BFC,得到 AE=,再得到 AB=

所以 AC=

小结:题目中有直角,可以考虑依托这个直角作垂直构造“ K”型。

2、如图, ADBE分别是 ABC的中线和角平分线, AD BE于点 GAD= BE= 6,求 AC的长.

3.jpg

分析:利用中点构造中位线,再结合角平分线遇垂直得 G是中点

最后构造相似模型

解:过点 DBE的平行线,交 AC于点 F.

图片6

DF// BEAD BE

DF AD

BE平分 ABD

ABG= GBD

AD BE

AGB= DGB

BG= BG

ABG DBG

AG= GD

GF// DF

EAF的中点

AE= EF

GBC的中点, DF// BE

FEC的中点

EF= FC

DF BCE的中位线

DF= BE= 3

Rt ADF中,

AF==

AC=

变式练习:

2、在 ABC中, P为边 AB上一点.

1)如图 1,若 ACP= B,求证:;

2)若 MCP的中点, AC= 2.

①如图 2,若 ACP= PBMAB= 3,求 BP的长;

②如图 3,若 ABC= 45°, A= BMP= 60°,请直接写出 BP的长.

图片7

分析:

利用中点构造中位线将相应的角和线段进行转移再进一步构造相似模型

温馨提示:

证明:

1 ACP= B A= A

ABC ACP

2)①过点 CBM的平行线,交 AB的延长线于点 Q.

图片8

BM// CQMPC的中点

BPQ的中点,即 PB= BQ.

BM PQC的中位线

1= 2

A= A

AQC ACP

BP=,则 AQ= 3+, AP= 3 -

4=( 3+)( 3 -)

=

BP=

②过点 CAB的垂线交 AB于点 Q,在 AB上取一点 H,使 QH= QP.

图片9

Rt AQC中, A= 60°, AC= 2

AQ= 1, QC=

QH= b,则 AH= 1 - bBP= -1+ b

Rt BQC中, ABC= 45°,

易证:

AHC MPB

b=

所以 BP= -1.

3、如图, A= ABC= C= 45°, EF分别是 ABBC的中点,则下列结论:

EF BD;② EF= BD;③ ADC= BEF+ BFE;④ AD= DC

其中正确的是( )

图片10

温馨提示:

图片11

选择:①②③