折叠问题能考查学生的动手能力，也是提高学生观察能力的好素材，所以这类问题成为近年中考的一个热点问题．其中，三角形的相似是解决折叠问题的有用工具，今天我们一起来学习。
典型例题：
例 1、如图， D是等边△ ABC边 AB上的一点，且 AD︰ DB= 1︰ 2，现将△ ABC折叠，使点 C与 D重合，折痕为 EF，点 E、 F分别在 AC和 BC上，则 CE︰ CF=（）
A．
B．
C．
D．
分析：借助翻折变换的性质得到： DE= CE,设 AB= 3
， CE=
,则 AE= 3-；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题。
解：方法一、设 AD=,则 DB= 2，
△ ABC为等边三角形，
AB= AC= 3，
A= B= C= EDF= 60°
EDA+ FDB= 120°
EDA+ AED= 120°，
FDB= AED
△ AED∽△ BDF
设 CE=,则 ED=, AE= 3-,
设 CF=
,则 DF=, FB= 3-,
CE: CF= 4:5
故选 B
方法二：设 AD=,则 BD= 2,
△ ABC为等边三角形，
AB= AC= 3， A= B= C= EDF= 60°
EDA+ FDB= 120°
EDA+ AED= 120°，
FDB= AED
△ AED∽△ BDF,由折叠，得 CE= DE, CF= DF
△ AED的周长为 4，△ BDF的周长为 5，
△ AED与△ BDF的相似比为 4： 5
CE: CF= 4:5
变式练习：
1、如图，将矩形 ABCD沿 EF折叠，使顶尖 C恰好落在 AB边的中点 C′上，点 D落在 D′处， C′ D′交 AE于点 M．若 AB＝ 6， BC＝ 9，则 AM的长为__________．
2、如图， Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ 3， BC＝ 4．将边 AC沿 CE翻折，使点 A落在 AB上的点 D处；再将边 BC沿 CF翻折，使点 B落在 CD的延长线上的点 B′处，两条折痕与斜边 AB分别交于点 E、 F，则线段 B′ F的长为（）
A．
B．
C．
D．
答案：
1、
；
2、 B
例 2、如图，矩形纸片 ABCD，将△ AMP和△ BPQ分别沿 PM和 PQ折叠（ AP＞ AM），点 A和点 B都与点 E重合；再将△ CQD沿 DQ折叠，点 C落在线段 EQ上点 F处．
（ 1）判断△ AMP，△ BPQ，△ CQD和△ FDM中有哪几对相似三角形？
（ 2）如果 AM＝ 1，
，求 AB的长．
分析：（ 1）由矩形的性质得 A= B= C= 90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得 BPQ= AMP= DQC，所以△ AMP∽△ BPQ∽△ CQD；
（ 2）先证明 MD= MQ，然后根据已知条件，列出比例式解方程求解即可。
解：（ 1）△ AMP∽△ BPQ∽△ CQD
理由如下：
四边形 ABCD是矩形
A= B= C= 90°，
根据折叠的性质可知： APM= EPM, EPQ= BPQ,
APM+ BPQ= EPM+ EPQ= 90°，
APM+ AMP= 90°，
BPQ= AMP
△ AMP∽△ BPQ
同理：△ BPQ∽△ CQD
根据相似的传递性：△ AMP∽△ BPQ∽△ CQD
（ 2） AD// BC，
DQC= MDQ
MD= MQ
AM= ME, BQ= EQ
BQ= MQ-ME= MD-AM,
设 DF= 3， MD= 5
BP= PA= PE=
， BQ= 5 -1，
△ AMP∽△ BPQ
解得：
（舍）或= 2
所以 AB= 6.
变式练习：
3、如图，将△ ABC沿着过 AB中点 D的直线折叠，使点 A落在 BC边上的 A 1处，称为第 1次操作，折痕 DE到 BC的距离记为 h 1；还原纸片后，再将△ ADE沿着过 AD中点 D 1的直线折叠，使点 A落在 DE边上的 A 2处，称为第 2次操作，折痕 D 1 E 1到 BC的距离记为 h 2；按上述方法不断操作下去…，经过第 2015次操作后得到的折痕 D 2014 E 2014到 BC的距离记为 h 2015若 h l= 1，则 h 2015的值为( )
A．
B．
C．
D．
答案： D.
4、已知有一张矩形的纸片 ABCD的长为 4，宽为 3， P是 BC边上的动点（与点 B, C不重合），现将
沿 PA翻折，得到
,再将 CD边上选取适当的点 E,将
沿 PE翻折，得到
,使得直线 PF, PM重合.若点 F落在矩形纸片 ABCD的内部（如图），求 CE的最大值.
答案：
5、在矩形 ABCD中， AB= 2， AD= 3， P是 BC上的任意一点（ P与 B, C不重合），过点 P作
,垂足为 P， PE交 CD于点 E,设 BP为， CE为,求当为何值时，的值最大？
答案：当=
时，=
.
