动人的音乐常给人以美妙的感受。古人云:余音绕梁,三日不绝,这说的是唱得好,也有的人五音不全,唱不成调,这就是唱得不好了。同样是唱歌,甚至是唱同样的歌,给人的感觉却是迥然不同。其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同。
人类很早就在实践中对声音是否和谐有了感受,但对谐和音的比较深入的了解只是在弦乐器出现以后,这是因为弦振动频率和弦的长度存在着简单的比例关系。近代数学已经得出弦振动的频率公式是 W=,这里, P是弦的材料的线密度; T是弦的张力,也就是张紧程度; L是弦长; W是频率,通常以每秒一次即赫兹为单位。
那么,决定音乐和谐的因素又是什么呢?人类经过长期的研究,发现它决定于两音的频率之比。两音频率之比越简单,两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。
首先,最简单之比是2:1。例如,一个音的频率是 160、 7赫兹,那么,与它相邻的协和音的频率应该是 2× 260、 7赫兹,这就是高八度音。而与频率为 2× 260、 7赫兹的音和谐的次一个音是 4× 260、 7赫兹。这样推导下去,我们可以得到下面一列和谐的音乐:
260、 7, 2× 260、 7, 22× 260、 7……
我们把它简记为 C 0, C 1, C 2,……,称为音名。
由于我们讨论的是音的比较,可暂时不管音的绝对高度(频率),因此又可将音乐简写为:
C 0 C 1 C 2 C 3……
20212223……
需要说明的是,在上面的音列中,不仅相邻的音是和谐的,而且 C与 C 2, C与 C 3等等也都是和谐的。一般说来这些协和音频率之比是 2 M。(其中 M是自然数)
等号与不等号 Ec
等号与不等号的发明权属于英国人。
1557年,数学家雷科德在他的《智慧的激励》一书中,首先把“=”作为等号,他说:“最相像的两件东西是两条平行线,所以这两条线应该用来表示相等。”他的书《智慧的激励》也因此引起了人们极大的兴趣。
在数学中,等号“=”既可表示两个数相等,也可以表示两个式子相等,但无论何种相等,它们都遵循以下规则:
(1)若 a= b,那么对于任何数 c,有 a± c= b± c;
(2)若 a= b,那么 b= a;
(3)若 a= b, b= c,那么 a= c;
(4)若 a= b,那么对于任何数 c,有 ac= bc。
人们起初用“”和“”。表示大于和小于,英国人乌特勒首次在他的《数学入门》一书中使用了它们。另一英国数学家哈里奥特引入了现在的两个符号:>、<。他在自己的书中明确地写道:“ a> b表示 a量大于 b量, a< b表示 a量小于 b量。”
不等号在数学中有着普遍应用,在使用它们时,应遵循如下原则( a、 b为实数)
(1)若 a> b,则 b< a
(2)若 a> b,那么对于任何实数 c,有 a± c> b± c;
(3)若 a> b, c为大于零的实数,那么 ac> bc;
(4)若 a> b, c为小于零的实数,那么 ac< bc;
(5)若 a> b, b> c,那么 a> c。