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攻克“相似三角形”( 2

上节内容已经涉及到相似三角形的“子母型”、“射影型”。今天我们再来看一些基本模型:“ K型或斜 K型”等.

基本模型:

图片1

1.如图 1 B= C= EDF BDE CFD(一线三等角)

如图 2 B= C= ADE ABD DCE(一线三直角)

如图 3,特别地,当 DBC中点时, BDE DFE CFD ED平分 BEFFD平分 EFC.

2.一线三等角辅助线添加:一般情况下,已知一条直线上有两个等角(直角)或一个直角时,可构造“一线三等角”型相似

典型例题:

1、如图,等边 ABC中, D是边 BC上的一点,且 BD: DC= 13,把 ABC折叠,使点 A落在 BC边上的点 D处,那么=_____________

图片2

分析:折叠可得: AM= DMAN= DN MDN= A.

解:等边三角形 ABC

B= C= A= 60°, AB= BC= AC= 3 a.

折叠

AM= DMAN= DN MDN= A= 60°.

1+ 2= 120°

1+ 3= 120°

2= 3

BDM CND

小结:相似比等于周长比

变式练习:

1.已知 ABC中: AB= AC BAC= 120°, DBC的中点, AB边上有一点 EAC延长线上有一点 F,使 EDF= C.已知 BE= 4,则 CF=________.

图片3

温馨提示:

因为 EDF= C B= C.所以 BDE CFD相似.

答案: CF=.

2、在矩形 ABCD中, AB= 6AD= 8,把矩形 ABCD沿直线 MN翻折,点 B落在边 AD上的 E点处,若 AE= 2 AM,那么 EN的长等于________.

图片4

温馨提示:

图片5

NF AD于点 F,则 FN= AB= 6

易得 MAE EFN相似.

所以

得到: EN=.

2、如图,已知 AM// BN A= B= 90°, AB= 4,点 D是射线 AM上的一个动 4点(点 D与点 A不重合),点 E是线段 AB上的一个动点(点 E与点 AB不重合),连接 DE,过点 EDE的垂线,交射线 BN于点 C,连接 DC.AE=, BC=.

1)当 AD= 1时,求关于的函数关系式,并写出它的定义域;

2)在( 1)的条件下,取线段 DC的中点 F,连接 EF,若 EF= 2.5,求 AE的长;

3)如果动点 DE在运动时,始终满足条件 AD+ DE= AB,那么请探究: BCE的周长是否随动点 DE的运动而发生变化?请说明理由

图片6

分析:( 1)由 AED BCE,得出其对应边成比例,进而可得出 AEBC的关系式;

2)可过 D点作 DH垂直 BN于点 H,求出 BC的值,即 BC的值,进而可求解 AE的值;

3 BCE的周长为一定值,由于题中满足条件 AD+ DE= AB,且两个三角形相似,由于相似三角形的周长比即为其对应边的比,所以可得其周长不变。

解:

1 A= B= DEC= 90°

AED BCE

AE=, BC=, AB= 4, AD= 1

BE= 4 -,

( 2)

7.jpg

DE EC

DEC= 90°

FDC的中点

EF=DC= 2.5

DC= 5

D点作 DH BC于点 H,则 DH= AB= 4,

Rt DHC

HC== 3

BC= BH+ HC= 1+ 3= 4,即= 4

AE= 2.

3 BCE的周长不变,理由如下:

= AE+ DE+ AD= 4+BE= 4 -

AD= a,则 DE= 4 - a

A= 90°,

,既

由( 1)知: AED BCE

BCE的周长不变.

变式练习:

3、如图,已知 ABC中, C= 90°, AC= BC= 2OAB的中点,将 45°角的顶点置于点 O,并绕 O旋转,使角的两边分别交边 ACBC于点 DE,连接 DE.

1)求证: AOD OED

2)设 AD=,试用关于的式子表示 DE.

图片8

温馨提示:

1)易得 AOD BEO,得到比例关系,再证 AOD OED

2

图片9

OF AC, OH DE, OG BC

利用( 1)的结论:得到