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巧用“平行线分线段成比例定理”

平行线分线段成比例是三角形相似中的活跃“元素”,我们需要掌握一定数量的基本图形,需要有单独的独特的解答策略。这对几何学习,尤其是相似三角形的学习是相当重要的。下面介绍一些平行线分线段成比例的基本题型。

典型例题:

1、( 1)已知,则

2)如果,那么的值是( )

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

分析:主要运用“比与代数式比的互换”。

解:( 1)将代数式比的形式转化成积的形式:,整理后再转化成比的形式,便有.

2)设所以= 9

C.

变式练习:

1、如果,且,那么的值?

2、已知,求的值

答案:

13.

2)当时,

时,= -1.

与平行线对应的基本图形及结论

1)“ A”字形:

图片9

BC// DE

,,

2)“ X”字形:

图片10

ED// BC

3)共腰“ A-X”字形:

图片11

AC// EF// BD

2、如图,在 ABC中, DBC边上一点, EAC边上一点,连接 ADBE交于点 F,若 BD: DC= 23AF: FD= 34,求 AE: EC的值.

图片12

分析:利用平行线分线段成比例来作辅助线

解:方法 1、过点 DAB的平行线,交 AC于点 M.

图片13

MD// BE

EM= 2 a, MC= 3 a.

EF// MD

AE= 1.5 a

AE: EC= 1.5 a :5 a

AE: EC= 3:10.

方法 2、过 A点作 BC的平行线,交 BE的延长线于点 N.

图片14

AN// BC

AN= 3 bBD= 4 b

DC= 6 b, BC= 10 b

变式练习:

3)如图,在 ABC中, ADBC边上的中线, FAD边上一点,且,射线 CFAB于点 E,则=________

图片15

答案:

温馨提示:

过点 DCF的平行线,交 AB于点 M.

AF: FD= 1:3

4)如图,在矩形 ABCD中, AB=, BC=,点 E在对角线 BD上,且 BE= 1.8,连接 AE并延长交 DC于点 F,则=_________

图片16

答案:

先求出 BD= 3,则 ED= 1.2.

CF: CD= CF: AB= ED: BE= 2:3.

3、如图,矩形 ABCD的边长 AD= 3, AB= 2,点 EAB的中点,点 F在边 BC上,且 BF= 2 FCAF分别与 DEDB相交于点 MN,求 MN的长.

图片17

分析:通过已知条件,可以得到 BFFC线段的长度,用两次 X型,分别得到 AMAN的长度,再相减就可以得到。

解:延长 AFDC交于点 P.

图片18

BC= 3, BF= 2 FC

BF= 2, FC= 1

AB= 2

AB= BF,

BAF= AFB

矩形 ABCD

AB// CD, AB= CD, ABC= BCD= 90°.

BAF= AFB= 45°

CFP= P

CF= CP= 1, AP= 3

AN=

同理可得 AM=

MN=.

变式练习:

5)如图,在 ABC中有一正方形 DEFG,点 DAC上,点 EFAB上,直线 AG分别交 DEBCMN两点,若 B= 90°, AB= 4BC= 3EF= 1,求 BN的长度.

图片19

答案: