平行线分线段成比例是三角形相似中的活跃“元素”,我们需要掌握一定数量的基本图形,需要有单独的独特的解答策略。这对几何学习,尤其是相似三角形的学习是相当重要的。下面介绍一些平行线分线段成比例的基本题型。
典型例题:
例 1、( 1)已知,则
( 2)如果,那么的值是( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
分析:主要运用“比与代数式比的互换”。
解:( 1)将代数式比的形式转化成积的形式:,整理后再转化成比的形式,便有.
( 2)设,所以= 9
选 C.
变式练习:
1、如果,且,那么的值?
2、已知,求的值
答案:
( 1) 3.
( 2)当时,;
当时,= -1.
与平行线对应的基本图形及结论
( 1)“ A”字形:
BC// DE
,,
( 2)“ X”字形:
ED// BC
( 3)共腰“ A-X”字形:
AC// EF// BD
例 2、如图,在 ABC中, D是 BC边上一点, E是 AC边上一点,连接 AD、 BE交于点 F,若 BD: DC= 2: 3, AF: FD= 3: 4,求 AE: EC的值.
分析:利用平行线分线段成比例来作辅助线
解:方法 1、过点 D作 AB的平行线,交 AC于点 M.
MD// BE
设 EM= 2 a, MC= 3 a.
EF// MD
AE= 1.5 a
AE: EC= 1.5 a :5 a
AE: EC= 3:10.
方法 2、过 A点作 BC的平行线,交 BE的延长线于点 N.
AN// BC
设 AN= 3 b, BD= 4 b
DC= 6 b, BC= 10 b
变式练习:
( 3)如图,在 ABC中, AD是 BC边上的中线, F是 AD边上一点,且,射线 CF交 AB于点 E,则=________
答案:
温馨提示:
过点 D作 CF的平行线,交 AB于点 M.
AF: FD= 1:3
( 4)如图,在矩形 ABCD中, AB=, BC=,点 E在对角线 BD上,且 BE= 1.8,连接 AE并延长交 DC于点 F,则=_________
答案:
先求出 BD= 3,则 ED= 1.2.
CF: CD= CF: AB= ED: BE= 2:3.
例 3、如图,矩形 ABCD的边长 AD= 3, AB= 2,点 E为 AB的中点,点 F在边 BC上,且 BF= 2 FC, AF分别与 DE、 DB相交于点 M、 N,求 MN的长.
分析:通过已知条件,可以得到 BF、 FC线段的长度,用两次 X型,分别得到 AM、 AN的长度,再相减就可以得到。
解:延长 AF、 DC交于点 P.
BC= 3, BF= 2 FC
BF= 2, FC= 1
AB= 2
AB= BF,
BAF= AFB
矩形 ABCD
AB// CD, AB= CD, ABC= BCD= 90°.
BAF= AFB= 45°
CFP= P
CF= CP= 1, AP= 3
AN=
同理可得 AM=,
MN=.
变式练习:
( 5)如图,在 ABC中有一正方形 DEFG,点 D在 AC上,点 E、 F在 AB上,直线 AG分别交 DE、 BC于 M、 N两点,若 B= 90°, AB= 4, BC= 3, EF= 1,求 BN的长度.
答案: