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舟舟、诺诺对话“互逆命题、互逆定理”

知识解读

诺诺:你来说说,什么是互逆命题?

舟舟:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题是另一命题的逆命题

诺诺:你能举一个例子看看吗?

舟舟:好的,如:命题 1“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,命题 2:“如果两个角相等,那么这两个角是对顶角”,显然命题 1的条件就是命题 2的结论,命题 1的结论就是命题 2的条件,这两个命题是互逆命题.

诺诺:那怎样写出一个命题的逆命题呢?

舟舟:要准确地写出一个命题的逆命题,首先要分清原命题的条件和结论,方法是先把原命题写成“如果…那么…”的形式,然后再把条件部分和结论部分颠倒,就可以得到它的逆命题

诺诺:可以举个例子吗?

舟舟:可以!如:命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是__________。在写这个命题的逆命题时,先把它写成“如果…那么…”的形式是:如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应边相等。这样可以得到它的逆命题是:如果两个三角形的对应边相等,那么这两个三角形是全等三角形,也可以写成:对应边相等的两个三角形是全等三角形

诺诺:任何一个命题都有逆命题吗?

舟舟:是的,任何一个命题都有逆命题

诺诺:如果一个命题是真命题,那么它的逆命题是真命题吗?

舟舟:关于原命题和它的逆命题的的真假情况共有四种情况:①原命题为真命题,逆命题也是真命题;②原命题为真命题,逆命题为假命题;③原命题为假命题,逆命题为真命题;④原命题为假命题,逆命题也是假命题,也就是说,原命题的真假与它逆命题的真假没有必然的联系。举个例子:①命题“同旁内角互补,两直线平行”的逆命题为“两直线平行,同旁内角互补”,原命题和它的逆命题都是真命题;②命题“如果 a= b,那么 a 2= b 2”的逆命题是“如果 a 2= b 2,那么 a= b”,原命题是真命题,它的逆命题是假命题;③命题“相等的角是对顶角”的逆命题是“对顶角相等”,原命题是假命题,而逆命题是真命题;④命题“能被 2整除的数也能被 5整除”的逆命题是“能被 5整除的数也能被 2整除”,原命题与它的逆命题都是假命题.

诺诺:原来如此!什么是互逆定理?

舟舟:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,称这两个定理为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。例如:勾股定理和它的逆定理就是互逆的两个定理,又如:“等腰三角形的两底角相等”与“两角相等的三角形是等腰三角形”也是互逆的定理

诺诺:任何一个命题都有逆命题,是不是所有的定理都有逆定理?

舟舟:不是的,只有当一个定理的逆命题是真命题时,定理才有逆定理,如果一个定理的逆命题是假命题,这时定理没有逆定理。例如:定理“直角三角形的两锐角互余”就有逆定理“两锐角互余的三角形是直角三角形”,而定理“对顶角相等”就没有逆定理

诺诺:由此看来,两个互逆定理一定都是正确的

舟舟:是的,最后再强调一点:在根据命题写出它的逆命题时,并不是把其结论和条件简单地”对调“,要注意题中隐含的条件及逻辑关系。