暑假快结束了，我们真的要进入初三的学习了。初三的学习生活，我们要过的“简单但不简约”。加油，初三！

今天我们来学习“动点的综合题”。

典型例题：

例 1、如图，在四边形 ABCD中， AD// BC， B= 90°， AB= 8， AD= 12， BC= 18，点 P从点 A出发以 2 cm/ s的速度沿 A-D-C运动，点 P从点 A出发的同时点 Q从点 C出发，以 1 cm/ s的速度向点 B运动，当点 P到达点 C时，点 Q也停止运动.设点 P， Q运动的时间为 t秒.

（ 1）从运动开始，当 t取何值时， PQ// CD？

（ 2）从运动开始，当 t取何值时， PQC为直角三角形？

分析：

（ 1）已知 AD// BC，添加 PD= CQ即可判断以 PQDC为顶点的四边形是平行四边形；

（ 2）点 P处可能为直角，点 Q处也可能是直角，而后求解即可.

解：

（ 1）当 PQ// CD时，四边形 PDCB是平行四边形，

此时 PD= QC

所以 12-2 t= t

所以 t= 4

当 t= 4时，四边形 PQDC是平行四边形.

（ 2）过 D点， DF垂直 BC于 F.

因为 DF= AB= 8,

所以 FC= 6, CD= 10

当 PQ垂直 BC时，

2 t+ t= 18

t= 6;

当 QP垂直 PC时，此时 P一定在 DC上，

CP= 22-2 t, CQ= t

所以

当 PC垂直 BC时，因 DCB< 90°，此种情况不存在。

变式练习：

1、如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD的顶点 A、 C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行.若甲的速度是乙的速度的 3倍，则它们第 2015次相遇在边____________上.

答案： AB

温馨提示：

此题是找规律，第一次相遇在 CD边上；第二次相遇在 AD边上；第三次相遇在 AB边上；第四次相遇在 BC边上；第五次相遇在 CD边上......

例 2、如图，已知正方形 ABCD的边长为 2， E是边 BC上的动点， BF AE交 CD于点 F，垂足为 G,连接 CG.下列说法：（ 1） AG> GE；（ 2） AE= BF；（ 3）点 G运动的路径长为；（ 4） CG的最小值为，其中正确的说法是__________________（把你认为正确的说法的序号都填上）

分析：根据正方形的性质可得然后利用全等三角形；

解：（ 1） AGB= 90°不变，当 E移动到与 C重合时， F点和 D点重合，此时 G是 AC的中点，所以 AG= GE，故（ 1）错误；

（ 2）易证明，故（ 2）正确；

（ 3）点 G运动的轨迹为圆，所有圆弧的长=，故（ 3）错误；

（ 4）由于 OC与 OG的长度是一定的，因此当 O、 G、 C在同一直线上时， CG取最小值. CG的最小值为 OC-OG=.

正确的结论为：（ 2）（ 4）.

变式练习：

2、如图，在 ABC中， ACB= 90°， AB= 5， BC= 3， P是 AB边上的动点（不与点 B重合），将 BCP沿 CP所在的直线翻折，得到 B’ CP，连接 B’ A，则 B’ A长度的最小值是_______.

答案：

提示：当 A、 B’、 C三点在同一直线上时， AB’有最小值，

所以 AB’= AC-B’ C= 1

故答案为 1.

例 3、等腰 ABC的直角边 AB= BC= 10 cm，点 P、 Q分别从 A、 C两点同时出发，均以 1 cm/ s的相同速度做直线运动，已知点 P沿射线 AB运动，点 Q沿边 BC的延长线运动， PQ与直线 AC相交于点 D.设点 P运动时间为 t， PCQ的面积为 S.

（ 1）求出 S与 t的函数关系式；

（ 2）当点 P运动几秒时，？

（ 3）作 PE AC于点 E，当点 P、 Q运动时，线段 DE的长度是否改变？证明你的结论？

分析：

由题可以看出 P沿 AB向右运动， Q沿 BC向上运动，且速度都为 1 cm/ s， S= QC乘以 PB，所以求出 QC、 PB与 t的关系就可得出 S与 t的关系，另外应注意 P点的运动轨迹，它不仅在 B点左侧运动，达到一定时间后运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分类回答.