一元二次方程中“根与系数”的关系很重要，几乎是每年中考的考点。今天我们来学习这个知识点
一元二次方程根与系数的关系：
（
）
；
典型例题：
例 1、（ 1）已知
，
，
，则
的最小值是（）
A. 6 B. 3 C. -3 D. 0
（ 2）一元二次方程
的根的情况（ ）
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
（ 3）已知
、
是一元二次方程
的两根，则
的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：
（ 1）
是方程
的两个根，所以根据根与系数的关系：
.=
=
。
所以最小值为 6.
（ 2）
= 0，所以选 B.
（ 3）
，所以选 D.
变式练习：
1、关于
的一元二次方程 
的根的情况是（ ）
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
2、关于的一元二次方程：
有两个实数根、，
则
=（ ）
A.
B.
C. 4 D. -4
答案：
1、 D.
2、 D.
例 2、关于的方程
（ 1）求证：无论
为何值时，方程总有实数根；
（ 2）设，是方程 的两个根，记
， S的值能为 2吗？若能，求出此时的值，若不能，请说明理由。
分析：
（ 1）本题二次项系数为
，可能为 0，可能不为 0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使
> 0恒成立；
（ 2）要求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可。
解：
（ 1）当= 0即= 1时，方程为一元一次方程
，所以
有一个解
‚当
即
时，方程为一元二次方程，
=
=
所以方程有两个不相等的实数根；
综上所述无论为何值时，方程总有实数根
（ 2）根据根与系数的关系：
变式练习：
3、已知关于的一元二次方程
有两个实数根
.
（ 1）求
的取值范围；
（ 2）当
时，求的值
答案：
（ 1）
；
（ 2）
4、（ 2016.贵港）若关于的一元二次方程
的两个不相等的实数根分别为
和
，且
，求
的值
答案：
依题意：
当
时，>0
例 3、有两个一元二次方程： M：
， N：
，其中
下列四个结论：（ 1）如果方程 M有两个不相等的实数根，那么方程 N也有两个不相等的实数根；（ 2）如果方程 M有两根符号相同，那么方程 N的两根符号也相同；（ 3）如果 5是方程 M的一个根，那么
是方程 N的一个根；（ 4）如果方程 M和方程 N有一个相同的根，那么这个根必是
，其中正确的序号是____________
解：
（ 1）方程有两个不相等的实数根，则=
> 0；对于方程，=也大于 0，所以方程 N有两个不相等的实数根。故正确。
（ 2）方程 M有两根符号相同，所以
,则
同号。对于方程 N，因为同号，所以
；故正确。
（ 3）因为 5是方程 M的一个根，所以
，则有
，
所以是方程 N的一个根；故正确。
（ 4）依题意：
=
；所以
结论错误。
综上所述：（ 1）（ 2）（ 3）.
变式练习：
5、关于的一元二次方程
有两个不等实根
.
（ 1）求实数的取值范围；
（ 2）若方程两实根满足
，求的值
答案:
（ 1）依题意：
=
>0
所以
.
（ 2）
所以同为负数
或 2.
