现在是火热的七月，但我们需静下心了，巩固特殊四边形的性质和判定，
我们来看看综合题吧！
典型例题：
例 1、如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB= 8， AD= 7， E为 AB上一点， AE= 5,现要剪下一张等腰三角形纸片（
AEP），使点 P落在长方形 ABCD的某一条边上，则等腰三角形 AEP的底边长是____________________.
分析：分情况讨论，当 AP= AE； PE= AE； PA= PE.
解：（ 1）当 PA= AE= 5时，
PE=
AE= 5.
（ 2）当 PE= AE= 5时，
AP= 4
.
（ 3） PA= PE时，底边 AE= 5.
变式练习：
1、如图，正方形 ABCD边长为 3，连接 AC， AE平分
CAD，交 BC的延长线于点 E， FA
AE，交 CB延长线于点 F，则 EF的长为__________.
答案：
例 2、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
（ 1）如图 1、四边形 ABCD中，点 E、 F、 G、 H分别为边 AB、 BC、 CD、 DA的中点.
求证：中点四边形 EFGH是平行四边形；
（ 2）如图 2、点 P是四边形 ABCD内一点，且满足 PA= PB， PC= PD， APB= CPD，点 E、 F、 G、 H分别为边 AB、 BC、 CD、 DA的中点，猜想中点四边形 EFGH的形状，并证明你的猜想；
（ 3）若改变（ 2）中条件，使 APB= CPD= 90°，其他条件不变，直接写出中点四边形 EFGH的形状.（不必证明）
分析：
（ 1）如图 1、连接 BD，根据三角形中位线定理只要证明 EH// FG， EH= FG即可；
（ 2）四边形 EFGH是菱形，先证明三角形全等，得到 AC= BD，再证明 EF= FG即可；
（ 3）四边形 EFGH是正方形，只要一个角为 90°。
证明：（ 1）连接 BD
E、 H分别是 AB、 AD的中点
EH// BD, EH=
BD;
同理 FG// BD， FG= BD
EH// FG, EH= FG
四边形 EFGH是平行四边形.
（ 2）四边形 EHGF是菱形
连接 AC、 BD
APB= DPC
APB+ APD= DPC+ APD
APC= BPD
在 APC和 BPD中：
APC
BPD
AC= BD
同理（ 1）
EH= HG= AC
易得四边形 EHGF是平行四边形
所以四边形 EHGF是菱形
（ 3）四边形 EFGH是正方形
变式练习：
2、已知四边形 ABCD是菱形， AB= 4， ABC= 60°， EAF的两边分别与射线 CB、 DC相交于点 E、 F，且 EAF= 60°.
（ 1）如图 1、当点 E是线段 CB的中点时，直接写出线段 AE、 EF、 AF之间的数量关系；
（ 2）如图 2、当点 E是线段 CB上任意一点时（点 E不与 B、 C重合），求证： BE= CF；
（ 3）如图 3、当点 E在线段 CB的延长线上，且 EAB= 15°时，求点 F到 BC的距离.
答案：
（ 1） AE= EF= AF
（ 2）连接 AC.
易得
（ 3）过点 A作 AG BC于点 G，过点 F作 FH EC于点 H.
EAB= 15°, ABC= 60°
AEB= 45°
在 Rt AGB中，
ABC= 60°， AB= 4
BG= 2， AG= 2
.
易证
AE= AF, EB= CF=
在 Rt CHF中，
点 F到 BC的距离为 3 -.
3、如图，在边长为 2的菱形 ABCD中， A= 60°，点 M是 AD边的中点， N是 AB边上的一动点，将 ANM沿 MN所在直线翻折得到 A’M N，连接 A’ C、 MC.
（ 1）求 MC的长度；
（ 2）求 A’ C长度的最小值.
答案：
（ 1）
（ 2） -1
