今天我们学习特殊四边形—正方形。
知识点回顾：
1、有一组邻边____________并且有一个角是___________的平行四边形叫作正方形。
2、正方形的性质：
（ 1）正方形的对边__________，四边_____________；
（ 2）正方形的四个角____________且都是_____________;
（ 3）正方形的对角线___________________________________.
3、正方形的判定：
（ 1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的______________是正方形；
（ 2）有一组邻边相等的________________是正方形；
（ 3）有一个角是直角的________________是正方形.
4、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
5、正方形中的计算问题，常转化为等腰直角三角形来处理。
典型例题：
例 1、如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC边上的点 E处，折痕为 GH.若 BE: EC= 2:1，则线段 CH的长是（）
分析：根据折叠的性质，再根据勾股定理列出方程，从而解出 CH的长.
解：由题意设 CH= a，则 DH= EH=（ 9 - a）
BE： EC= 2： 1，
CE=
BC= 3
在 Rt
ECH中，
=
+
,
即
解得 a= 4,
即 CH= 4.
变式练习：
1、把边长为 3的正方形 ABCD绕点 A顺时针旋转 45°得到正方形 AB’ C’ D’，边 BC与 D’ C’交于点 O，则四边形 ABOD’的周长是（）
答案：
例 2、如图，正方形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O，延长 CB至点 F，使 CF= CA，连接 AF，
ACF的平分线分别交 AF、 AB、 BD于点 E、 N、 M，连接 EO.
（ 1）已知 BD=
，求正方形 ABCD的边长；
（ 2）猜想线段 EO与 CA的数量关系并加以证明.
分析：（ 1）正方形的性质与勾股定理；
（ 2）中位线的性质的运用.全等三角形的运用
解：（ 1）四边形 ABCD是正方形，
ABD是等腰直角三角形
BD=
AB= 1
正方形 ABCD的边长为 1.
（ 2） CF= CA， ACF的平分线 CE交 AF于点 E
AE= EF
又对角线 AC、 BD的交于点 O.
OA= OC
EO是 ACF的中位线
EO// FC，且 EO=
CF.
CF= CA
EO= CA
变式练习：
2、如图，在正方形 ABCD中，边长为 2的等边三角形 AEF的顶点 E、 F分别在 BC和 CD上，下列结论：（ 1） CE= CF；（ 2） AEB= 75°；（ 3） BE+ DF= EF；（ 4）正方形 ABCD的面积= 2+
，其中正确的序号是___________
答案：（ 1）（ 2）（ 4）
3、如图，在正方形 ABCD中，点 M是对角线 BD上的一点，过点 M作 ME// CD交 BC于点 E，作 MF// BC交 CD于点 F.求证： AM= EF.
证明：
连接 MC.
易证明四边形 MECF是矩形，所以 MC= EF.
再证明
,所以 MC= AM.
所以 AM= EF.
例 3、如图，在正方形 ABCD中， E是 AB上一点， F是 AD延长线上一点，且 DF= BE.
（ 1）求证： CE= CF；
（ 2）在图 1中，若点 G在 AD上，且 GCE= 45°，则 GE= BE+ GD成立吗？为什么？
（ 3）运用（ 1）（ 2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图（ 2），在直角梯形 ABCD中， AD// BC（ BC> AD）， B= 90°， AB= BC= 24， E是 AB上一点，且 DCE= 45°， BE= 8，求 DE的长.
分析：
（ 1）利用已知条件，可证三角形全等，即对应边相等；
（ 2）利用三角形全等；
（ 3）利用（ 1）（ 2）可得.
证明：
（ 1）正方形 ABCD
BC= DC, B= GDC= 90°
在 BEC和 DFC中：
BEC
DFC
CE= CF
（ 2） BEC DFC
BCE= DCF
BCE+ ECD= DCF+ ECD,即 ECF= BCD= 90°.
GCE= 45°
GCF= GCE= 45°
CEG CFG
GF= GE
GE= BE+ GD
（ 3）根据（ 1）（ 2）可知， ED= BE+ DG
设 DE= a,则 DG= a -8，
所以 AD= 32 - a， AE= 16.
在 Rt AED中，
= AD
+ AE,
a= 20
