今天我们学习特殊四边形—矩形。
知识点回顾：
1、有一个内角是__________的平行四边形叫作矩形.
2、矩形的特殊的性质：
（ 1）矩形的四个角是______________.
（ 2）矩形的两条对角线互相___________,且______________.
（ 3）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的_____________.
3、矩形的判定定理：
（ 1）有三个角是_____________的四边形是矩形；
（ 2）对角线相等的_____________的矩形；
（ 3）有一个角是直角的____________________是矩形.
4、矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；又是轴对称图形，对称轴有 2条.
5、矩形被它的对角线分成四个全等的直角三角形和两组全等的等腰三角形.
6、矩形常见题目是对角线相交成 60°或 120°时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题。
典型例题：
例 1、（ 1）在矩形 ABCD中， AB= 3，对角线 AC、 BD相交于点 O，
AE垂直平分 OB于点 E，则 AD的长为_______________.
（ 2）如图，点 p是矩形 ABCD的边 AD上的一动点，矩形的两条边 AB、 BC的长分别是 6和 8，则点 P到矩形的两条对角线 AC和 BD的距离之和是_______________.
（ 3）如图，在矩形 ABCD中，点 E、 F分别在边 CD、 BC上，且 DC= 3 DE= 3 a，将矩形沿直线 EF折叠，使点 C恰好落在 AD边上的点 P处，则 FP=__________.
分析：（ 1）易得 AO= AB= 3,所以 AC= 6,在 Rt
ABC中， BC=
.
（ 2）“积不离高”，利用三角形的面积来计算；
（ 3）根据折叠的性质，得到
DCE= 30°，就得到 PFE= 30°。
解：（ 1） BC=
（ 2）因为 AB= 6, BC= 8，所以 AC= 10.得到 AO= 5.
AOD的面积= APO的面积+ PDO的面积，所以点 P到矩形的两条对角线 AC和 BD的距离之和是
.
（ 3）在 Rt PEF中， PFE= 30°， PE= 2 a.所以 FP=
a.
变式练习：
1、矩形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 O， AOD= 120°， AC= 8，则 ABO的周长为（）
答案： 12
2、如图，
ABCD的对角线相交于点 O，请你添加一个条件______（只添一个即可），使 ABCD是矩形.
答案：答案不唯一如 ABC= 90°， BCD= 90°， AC= BD.
例 2、如图 ABC中， AB= AC， AD是 ABC的角平分线，点 O为 AB的中点，连接 DO并延长到点 E，使 OE= DO，连接 AE, BE.
求证：四边形 AEBD是矩形.
分析：对角线互相平分，易得平行四边形 ADBE，只需再加一个条件即可。
证明：
OB= OA, OE= DO
ADBE是平行四边形
AB= AC， AD是 ABC的角平分线
AD
BC
四边形 AEBD是矩形
变式练习：
3、如图，在矩形 ABCD中， AB= 4， AD= 6， E是 AB边的中点， F是线段 BC边上的动点，将 EBF沿 EF所在直线折叠得到 EB’ F，连接 B’ D，则 B’ D的最小值是________.
答案：
当 B’在 DE上时， B’ D最小，为
例 3、如图，在矩形 ABCD中，点 E是 AD的中点，将 ABE沿直线 BE折叠后得到 GBE，延长 BG交 CD于点 F。若 AB= 6， BC=
，求 FD的长度.
分析：根据点 E是 AD的中点以及翻折的性质可以求出 AE= DE= EG，然后利用“ HL”证明 EDF和 EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得 DF= GF，设 FD=
，表示出 FC、 BF。然后在 Rt BCF，利用勾股定理列式进行计算即可。
解：
E是 AD的中点
AE= DE
ABE沿 BE折叠后得到 GBE，
AE= EG， AB= BG.
ED= EG
矩形 ABCD
A= D= 90°
EGF= 90°
在 Rt EDF和 Rt EGF中
Rt EDF
Rt EGF
DF= FG
设 DF=,则 BF= 6+， CF= 6 -.
在 Rt BCF中，
解得= 4.
答案为： 4
变式练习：
4、如图，在矩形 ABCD中， AD= 2 AB，点 M、 N分别在边 AD、 BC上，连接 BM、 DN，若四边形 MBND是菱形，则
=___________
温馨提示：
因为是填空题，所以设 AB= 1, AD= 2.
又因为 MBND是菱形，所以 MB= MD.
又因为 ABCD是矩形，设 AM= a, MB= 2 - a.
在 Rt AMB中，得 a=
.
=
.
答案：
