三角形中有很多线：高线、垂线、角平分线、中垂线、中线、中位线等等。今天讨论的就是三角形的“中位线”。
三角形的中位线定理的四个应用：（ 1）求线段的长度；（ 2）证明线段相等或平行；（ 3）求角的度数；（ 4）证明线段的倍分关系。
典型例题：
例 1、如图，点 A、 B为定点，定直线
// AB， P是上一动点，点 M、 N分别为 PA、 PB的中点，对下列各值：
（ 1）线段 MN的长；
（ 2）
PAB的周长；
（ 3） PMN的面积；
（ 4）直线 MN、 AB之间的距离；
（ 5）
APB的大小.
其中会随点 P的移动而变化的是__________________.
分析：因为点 M、 N分别为 PA、 PB的中点，所以 MN是 PAB的中位线。
（ 1） MN=
AB，因为 AB是定值，所以 MN是定值；（ 2） PA、 PB随点 P移动而变化，所以 PAB的周长变化；（ 3） PMN的面积= AB
h，因为 AB、 h不变，所以面积不变；（ 4）直线 MN、 AB之间的距离= h；（ 5） APB的大小随点 P移动而变化。
解：（ 2）、（ 5）
变式练习：
1、如图：在 ABC中，点
、
、
分别是 BC、 AC、 AB的中点，
、
、
分别是
、
、
的中点，依此类推，若 ABC的周长为 1，则
的周长为________________
答案：
例 2、在 ABC中，点 D、 E分别是边 AB、 BC的中点，点 F、 G是边 AC的三等分点， DF、 EG的延长线相交于点 H.求证：
（ 1）四边形 FBGH是平行四边形；
（ 2）四边形 ABCH是平行四边形.
证明：（ 1）
点 F、 G是 AC的三等分点
F、 G分别是 AG、 CF的中点.
又点 D是 AB的中点，
DF// BG，即 FH// BG.
同理 GH// BF
四边形 FBGH是平行四边形.
（ 2）连接 BH，交 FG于点 O.
四边形 FBGH是平行四边形，
OB= OH， OF= OC，
又 AF= CG，
OA= OC，
四边形 ABCH是平行四边形.
变式练习：
1、如图，四边形 ABCD中， AB= CD， M、 N、 E、 F分别是 BD、 AC、 BC、 MN的中点.求证： EF
MN.
答案：
证明：连接 ME、 EN.
M、 E分别是 BD、 BC的中点，
ME是 BDC的中位线，
ME= DC，
同理 NE= AB.
又 AB= CD，
ME= NE
MEN是等腰三角形.
又点 F是 NM的中点
EF MN
2、如图，已知 ABC， AD平分 BAC交 BC于点 D， BC的中点为 M，
ME// AD，交 BA的延长线于点 E，交 AC于点 F.
求证：（ 1） AE= AF；
（ 2） BE=（ AB+ AC）.
答案：
（ 1） DA平分 BAC.
BAD= CAD.
AD// EM.
BAD= AEF, AFE= CAD.
AEF= AFE.
AE= AF.
（ 2）过点 C作 CG// EM,交 BA的延长线于 G.
EF// CG
G= AEF, ACG= AFE
AEF= AFE,
G= ACG
AG= AC
BM= CM, EM// CG.
BE= EG
BE=（ AB+ AC）.
