三角形中有很多线:高线、垂线、角平分线、中垂线、中线、中位线等等。今天讨论的就是三角形的“中位线”。
三角形的中位线定理的四个应用:( 1)求线段的长度;( 2)证明线段相等或平行;( 3)求角的度数;( 4)证明线段的倍分关系。
典型例题:
例 1、如图,点 A、 B为定点,定直线// AB, P是上一动点,点 M、 N分别为 PA、 PB的中点,对下列各值:
( 1)线段 MN的长;
( 2) PAB的周长;
( 3) PMN的面积;
( 4)直线 MN、 AB之间的距离;
( 5) APB的大小.
其中会随点 P的移动而变化的是__________________.
分析:因为点 M、 N分别为 PA、 PB的中点,所以 MN是 PAB的中位线。
( 1) MN= AB,因为 AB是定值,所以 MN是定值;( 2) PA、 PB随点 P移动而变化,所以 PAB的周长变化;( 3) PMN的面积= AB h,因为 AB、 h不变,所以面积不变;( 4)直线 MN、 AB之间的距离= h;( 5) APB的大小随点 P移动而变化。
解:( 2)、( 5)
变式练习:
1、如图:在 ABC中,点、、分别是 BC、 AC、 AB的中点,、、分别是、、的中点,依此类推,若 ABC的周长为 1,则的周长为________________
答案:
例 2、在 ABC中,点 D、 E分别是边 AB、 BC的中点,点 F、 G是边 AC的三等分点, DF、 EG的延长线相交于点 H.求证:
( 1)四边形 FBGH是平行四边形;
( 2)四边形 ABCH是平行四边形.
证明:( 1)点 F、 G是 AC的三等分点
F、 G分别是 AG、 CF的中点.
又点 D是 AB的中点,
DF// BG,即 FH// BG.
同理 GH// BF
四边形 FBGH是平行四边形.
( 2)连接 BH,交 FG于点 O.
四边形 FBGH是平行四边形,
OB= OH, OF= OC,
又 AF= CG,
OA= OC,
四边形 ABCH是平行四边形.
变式练习:
1、如图,四边形 ABCD中, AB= CD, M、 N、 E、 F分别是 BD、 AC、 BC、 MN的中点.求证: EF MN.
答案:
证明:连接 ME、 EN.
M、 E分别是 BD、 BC的中点,
ME是 BDC的中位线,
ME= DC,
同理 NE= AB.
又 AB= CD,
ME= NE
MEN是等腰三角形.
又点 F是 NM的中点
EF MN
2、如图,已知 ABC, AD平分 BAC交 BC于点 D, BC的中点为 M,
ME// AD,交 BA的延长线于点 E,交 AC于点 F.
求证:( 1) AE= AF;
( 2) BE=( AB+ AC).
答案:
( 1) DA平分 BAC.
BAD= CAD.
AD// EM.
BAD= AEF, AFE= CAD.
AEF= AFE.
AE= AF.
( 2)过点 C作 CG// EM,交 BA的延长线于 G.
EF// CG
G= AEF, ACG= AFE
AEF= AFE,
G= ACG
AG= AC
BM= CM, EM// CG.
BE= EG
BE=( AB+ AC).