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重要的“中位线”

三角形中有很多线:高线、垂线、角平分线、中垂线、中线、中位线等等。今天讨论的就是三角形的“中位线”。

三角形的中位线定理的四个应用:( 1)求线段的长度;( 2)证明线段相等或平行;( 3)求角的度数;( 4)证明线段的倍分关系。

典型例题:

1、如图,点 AB为定点,定直线// ABP上一动点,点 MN分别为 PAPB的中点,对下列各值:

1)线段 MN的长;

2 PAB的周长;

3 PMN的面积;

4)直线 MNAB之间的距离;

5 APB的大小.

其中会随点 P的移动而变化的是__________________.

9.jpg

分析:因为点 MN分别为 PAPB的中点,所以 MN PAB的中位线。

1MN= AB,因为 AB是定值,所以 MN是定值;( 2PAPB随点 P移动而变化,所以 PAB的周长变化;( 3 PMN的面积= AB h,因为 ABh不变,所以面积不变;( 4)直线 MNAB之间的距离= h;( 5 APB的大小随点 P移动而变化。

解:( 2)、( 5

变式练习:

1、如图:在 ABC中,点分别是 BCACAB的中点,分别是的中点,依此类推,若 ABC的周长为 1,则的周长为________________

10.jpg

答案:

2、在 ABC中,点 DE分别是边 ABBC的中点,点 FG是边 AC的三等分点, DFEG的延长线相交于点 H.求证:

1)四边形 FBGH是平行四边形;

2)四边形 ABCH是平行四边形.

11.jpg

证明:( 1FGAC的三等分点

FG分别是 AGCF的中点.

DAB的中点,

DF// BG,即 FH// BG.

同理 GH// BF

四边形 FBGH是平行四边形.

2)连接 BH,交 FG于点 O.

四边形 FBGH是平行四边形,

OB= OHOF= OC

AF= CG

OA= OC

四边形 ABCH是平行四边形.

12.jpg

变式练习:

1、如图,四边形 ABCD中, AB= CDMNEF分别是 BDACBCMN的中点.求证: EF MN.

13.jpg

答案:

证明:连接 MEEN.

ME分别是 BDBC的中点,

ME BDC的中位线,

ME= DC

同理 NE= AB.

AB= CD

ME= NE

MEN是等腰三角形.

FNM的中点

EF MN

14.jpg

2、如图,已知 ABCAD平分 BACBC于点 DBC的中点为 M

ME// AD,交 BA的延长线于点 E,交 AC于点 F.

求证:( 1AE= AF

2BE=AB+ AC).

答案:

1 DA平分 BAC.

BAD= CAD.

AD// EM.

BAD= AEF, AFE= CAD.

AEF= AFE.

AE= AF.

2)过点 CCG// EM,交 BA的延长线于 G.

EF// CG

G= AEF, ACG= AFE

AEF= AFE,

G= ACG

AG= AC

BM= CM, EM// CG.

BE= EG

BE=AB+ AC).