n边形的内角和为（ n -2） 180； n边形的外角和为 360多边形的外角和是一个常数，与多边形的边数无关。

典型例题：

例 1、（ 1）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）

A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形

（ 2）如果一个正多边形的每个外角都是 30，那么这个多边形的内角和为_____________

（ 3）若多边形的每一个内角均为 135，则这个多边形的边数为_______________

分析： n边形的内角和为（ n -2） 180； n边形的外角和为 360.

解：（ 1） B

（ 2） 1800°

（ 3） 8

变式练习：

若一个正 n边形的每个内角为 144°，则这个正 n边形的所有对角线的条数是（）

答案： 35

例 2、如图，小红从 A点出发，沿直线前进 8米后左转 40°，再沿直线前进 8米，又左转 40°，照这样走下去，他第一次回到出发点 A时，求：

（ 1）整个行走路线是什么图形？

（ 2）一共走了多少米？

分析：这个题与多边形外角和的实际应用，根据任何一个多边形的外角和都是 360°，可求得图形的边数.

解：（ 1）设行走路线是正 n边形，依题意，得 n= 9.

（ 2） 8 9= 72（米）

变式练习：

1、如图，小明从 A点出发，沿直线前进 10米后左转 24°，再沿直线前进 10米，又向左转 24°，...，照这样走下去，他第一次回到出发点 A时，一共走的路程是（）.

答案： 150米

2、如图（ 1），在 ADC中， DP、 CP分别平分 ADC和 ACD，试探究 DPC与 A的数量关系；

如图（ 2），在四边形 ABCD中， DP、 CP分别平分 ADC和 ACD，

试探究 DPC与 A+ B的数量关系；

若将四边形 ABCD改为六边形 ABCDEF（如图 3），请直接写出 DPC与 A+ B+ E+ F的数量关系.

答案：

探究一：

DP、 CP分别平分 ADC和 ACD

PDC= ADC, PCD= ACD.

DPC= 180° - PDC - PCD

= 180° - ADC - ACD

= 90°+ A.

探究二： DP、 CP分别平分 ADC和 ACD

同理可得：

DPC=（ A+ B）

探究三：

P=（ A+ B+ E+ F） -180°

3、一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为 1080°，那么原多边形的边数为__________.

答案：

7或 8或 9

温馨提示：

若沿对角线截去一个角，则原来的是 9边形；

当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：

（ 1）过多边形的一个顶点，则原来的是 8边形；

（ 2）不过多边形的顶点，则原来的是 7边形.

4、已知 n边形的内角和=（ n -2） 180°.

（ 1）甲同学说，能取 360°；而乙同学说，也能取 630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n，若不对，说明理由；

（ 2）若 n边形为（ n+ x）边形，发现内角和增加了 360°，用列方程的方法确定 x.

答案：

（ 1）甲对，乙不对；

甲同学说的边数是 4；

（ 2） 2