图形的平移与旋转是近几年中考命题的重点和热点。考察考点主要通过具体实例认识平移、旋转,并探索平移、旋转的基本性质。
例 1、给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
( 1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;
( 2)如图,将
ABC绕顶点 B按顺时针旋转
得到
DBE,连接 AD、 DC、 CE,已知
DCB=
.
①求证:
BCE是等边三角形;
②求证:
,即四边形 ABCD是勾股四边形.

分析:
( 1)根据定义和特殊四边形的性质,则有矩形或正方形或直角梯形;
( 2)①先证全等,得出
BCE为等边三角形;②利用等边三角形的性质,进一步解答。
解:
( 1)正方形、矩形、直角梯形;
( 2)①
ABC
DBE,
BC= BE,

CBE=
,

BCE是等边三角形;
②
ABC
DBE
BE= BC, AC= ED;

BCE是等边三角形,
BC= CE,
BCE=
,

DCB=
,

DCE=
,
在 Rt
DCE中,




变式练习:
1、如图,边长为 6的等边三角形 ABC中, E是对称轴 AD上的一个动点,连接 EC,将线段 EC绕点 C逆时针旋转
得到 FC,连接 DF,则在点 E运动过程中, DF的最小值是___________.

答案: 1.5
取 AC的中点 G,连接 EG.
易得
.
所以 DF= EG,
根据垂线段最短, EG
AD时, EG最短,即 DF最短.
所以 DF= 1.5

例 2、已知正方形 ABCD的边长为 4,一个以点 A为顶点的 45°绕点 A旋转,角的两边分别与边 BC、 DC的延长线交于点 E、 F,连接 EF.设 CE=
, CF=
.
( 1)如图 1,当
被对角线 AC平分时,求
、
的值;
( 2)当
是直角三角形时,求
、
的值;
( 3)如图 3、探索
绕点 A旋转的过程中
、
满足的关系式,并说明理由

分析:
( 1)当
被对角线 AC平分时,易证
ACF
ACE,因此 CF= CE,即
.
( 2)分两种情况进行计算,一种方法先用全等;再求线段的长度;
( 3)先判断出
AFD=
CEF,再判断出 AF= EF,从而得到
ADF
FCE即可.
解:
( 1)
四边形 ABCD是正方形,

BCF=
DCE= 90°
AC是正方形 ABCD的对角线,

ACB=
ACD= 45°,

ACF=
ACE,

被对角线 AC平分。

CAF=
CAE,
在
ACF和
ACE中,


ACF
ACE
CE= CF,即
易得
;
( 2)当
AFE= 90°时,

AEF= 45°,

AEF= 45°
AF= EF.
易证
ADF
FCE


.
同理,当
AEF= 90°时,
AE= EF.
易证两个三角形全等
所以
.
( 3)根据提示,易得
.
变式练习:
如图,
AOB中,
AOB= 90°, AO= 3, BO= 6,
AOB绕顶点 O逆时针旋转到
A’ OB’处,此时线段 A’ B’与 BO的交点 E为 BO的中点,则线段 B’ E的长度为_______.

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