数论综合

【内容概述】涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题

1.如果把任意 n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么 n是多少?

【分析与解】我们知道如果有 5个连

续的自然数，因为其内必有 2的倍数，也有 5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是 0。

所以 n小于 5.

第一种情况:当 n为 4时，如果其内含有 5的倍数(个位数字为 O或 5)，显然其内含有 2的倍数，那么它们乘积的个位数字为 0;

如果不含有 5的倍数，则这 4个连续的个位数字只能是 1， 2， 3， 4或 6， 7， 8， 9;它们的积的个位数字都是 ANOAHDIGITAL 10;

所以，当 n为 4时，任意 4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能.

第二种情况：当 n为 3时，有 1× 2× 3的个位数字为 6， 2× 3× 4的个位数字为 4， 3× ANOAHDIGITAL 10× ANOAHDIGITAL 11的个位数字为 ANOAHDIGITAL 12，……，不满足.

第三种情况：当 n为 2时，有 1× 2， 2× 3， 3× 4， 4× 5的个位数字分别为 2， ANOAHDIGITAL 10， ANOAHDIGITAL 11， ANOAHDIGITAL 12，显然不满足.

至于 n取 1显然不满足了.

所以满足条件的 n是 4.

2.如果四个两位质数 a， b， c， d两两不同，并且满足，等式 a+ b= c+ d.那么，

( 1) a+ b的最小可能值是多少?

( 2) a+ b的最大可能值是多少?

【分析与解】两位的质数有 11， 13， 17， 19， 23， 29， 3 l， 37， 41， 43， ANOAHDIGITAL 10， ANOAHDIGITAL 11， ANOAHDIGITAL 12， ANOAHDIGITAL 13 l，

67， 71， 73， 79， 83， 89， 97.

可得出，最小为 11+ 19= 13+ 17= 30，最大为 97+ 71= 89+ 79= 168.

所以满足条件的 a+ b最小可能值为 30，最大可能值为 168.

3.如果某整数同时具备如下 3条性质：

①这个数与 1的差是质数;

②这个数除以 2所得的商也是质数;

③这个数除以 9所得的余数是 5.

那么我们称这个整数为幸运数求出所有的两位幸运数

【分析与解】条件①也就是这个数与 1的差是 2或奇数，这个数只能是 3或者偶数，再根据条件③，除以 9余 5，在两位的偶数中只有 14， 32， 50， 68， 86这 ANOAHDIGITAL 10个数满足条件.

其中 86与 50不符合①， 32与 68不符合②，三个条件都符合的只有 14.

所以两位幸运数只有 14.

4.在 555555的约数中，最大的三位数是多少?

【分析与解】 555555= 5× 111× 1001

= 3× 5× 7× 11× 13× 37

显然其最大的三位数约数为 777.

5.从一张长 2002毫米，宽 847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米

【分析与解】从长 2002毫米、宽 847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为 847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是 2002除以 847所得的商.而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有： 2002÷ 847= 2…… 308， 847÷ ANOAHDIGITAL 10= ANOAHDIGITAL 11…… ANOAHDIGITAL 12， ANOAHDIGITAL 13÷ ANOAHDIGITAL 14= ANOAHDIGITAL 15…… ANOAHDIGITAL 16÷ ANOAHDIGITAL 17= ANOAHDIGITAL 18.

不难得知，最后剪去的正方形边长为 77毫米.