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学好垂线 须过五关

垂线是初中阶段极其重要的知识点,应用相当广泛,是中考的必考内容.要将垂线有关知识学懂弄通,同学们必须通过以下五关.

知识点睛:

一、叙述关

在理解的基础上,加强对垂线两个性质的语言表达,有利于提高语言表达能力.

1)性质一:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

2)性质二:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.(简称:垂线段对短).

二、作图关

1如图 1,一辆汽车在直线形的公路 AB上由 AB行驶, MN分别是位于公路 AB两侧的村庄,设汽车行驶到点 P位置时,离村庄 M最近,行驶到点 Q位置时,离村庄 N最近,请你在 AB上分别画出 PQ两点的位置.

解:根据“垂线的性质二”,可分别过点 MNAB的垂线,确定 PQ的位置.如图 2所示.

三、辨析关

2如图 3,下列说法中,正确的有()。

①点 BAC的垂线段是线段 BC;②点 CAB的垂线段是线段 AC;③线段 AC的长度小于线段 AD的长度;④线段 DC是点 DAC的距离.

A1B2C3D4

解:根据垂线段的定义和性质,可知①③正确.由于 BCAC不垂直,所以线段 AC不是点 CAB的垂线段,②错误;因为点到直线的距离应该是垂线段的“长度”,而不应是单纯的线段,所以④也错误.

故选 B

四、计算关

3如图 4,直线 ABCDEF交于点 OOG平分∠ BOF,且 CDEF,∠ AOE=,求∠ DOG的度数.

解:因为 CDEF,所以∠ DOF=

因为∠ BOF=∠ AOE=,且 OG平分∠ BOF,所以∠ GOF===

故∠ DOG=∠ DOF—∠ GOF==

五、应用关

4P为直线外一点,点 ABC为直线上三点, PA= 4 cmPB= 5 cmPC= 2 cm,则点 P到直线的距离为( )。

A. 4 cm B. 2 cm C.小于 2 cm D.不大于 2 cm

解:点到直线的距离应该是垂线段长度,由于本题未明确告知哪条线段为垂线段,故应分类讨论.

1)如图 5,当 PC垂直直线时,则点 P到直线的距离即为线段 PC的长度 2 cm

2)如图 6,当 PC不垂直直线时,过点 PPD,垂足为点 D,根据“垂线段最短”,知 PD的长度小于 PC的长度 2 cm.故点 P到直线的距离应小于 2 cm

综上所述,点 P到直线的距离为不大于 2 cm,本题选 D

自我检测:

1、如图,点 O在直线 AC上,以 O为顶点画射线 OB,然后画出∠ AOB的平分线 ODOD的垂线 OEOE平分∠ BOC吗?请说明理由。

2、如图,已知∠ AOB=∠ COD= 90°.

1)若∠ BOC= 45°,求∠ AOC与∠ BOD的度数;

2)若∠ BOC= 25°,求∠ AOC与∠ BOD的度数;

3)由( 1)、( 2)你能得出什么结论?说说其中的道理

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参考答案:

1. OE平分∠ BOC

理由:由 OD平分∠ AOB,可得∠ BOD=∠ AOD.

因为 ODOE,所以∠ BOE+∠ BOD= 90°.

因为∠ AOC= 180°,所以∠ COE+∠ AOD= 90°.

所以∠ COE=∠ BOE. 所以 OE平分∠ BOC.

2.1)因为∠ AOB=∠ COD= 90°,且∠ BOC= 45°,

所以∠ AOC=∠ AOB -BOC= 45°,∠ BOD=∠ COD -BOC= 45°。

2)因为∠ AOB=∠ COD= 90°,且∠ BOC= 25°,

所以∠ AOC=∠ AOB -BOC= 65°,∠ BOD=∠ COD -BOC= 65°。

3)∠ AOC=∠ BOD,等角的余角相等.