解题指导：

如图 1，∠ 1与∠ 3是直线 AB、 CD相交得到的一对对顶角，∠ 1与∠ 2互补，∠ 3与∠ 2也互补，即∠ 1与∠ 3同是∠ 2的补角.根据“同角的补角相等”，可以得出∠ ANOAHDIGITAL 10=∠ ANOAHDIGITAL 11. 同理可以得出∠ 2=∠ 4. 由此我们得出对顶角的一个重要性质：对顶角相等巧用这一性质，可以帮助我们解决一些问题

一、利用对顶角的性质来计算

例 1如图 2，已知直线 a， b， c两两相交，∠ 2= 50°，∠ 1= 2∠ 3，求 4的度数.

分析：根据直线 a与 b相交，可知∠ 3与∠ 4是一对对顶角；根据直线 b与 c相交，可知∠ 1与∠ 2是一对对顶角，根据对顶角相等，可得∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，然后利用∠ 1与∠ 3的关系可以求到∠ ANOAHDIGITAL 10的度数.

解：因为∠ 1与∠ 2，∠ 3与∠ 4是对顶角，

所以∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4.

因为∠ 1= 2∠ 3，所以∠ 2= 2∠ 4.

因为∠ 2= 50°，所以∠ 4=× 50°= 25°.

例 2如图 3，已知直线 AB与 CE交于点 O，∠ COM= 90°， OA平分∠ MOE，且∠ BOD= 28°，求∠ AOM，∠ COE，∠ BOE的度数.

分析：观察图形可知∠ BOD与∠ AOC是对顶角，根据对顶角相等可求到∠ AOC度数，根据∠ COM= 90°，可求到∠ MOA的度数，再根据 OA是∠ MOC的平分线，可以求到∠ AOE的度数，进而求到∠ BOE的度数.

解：因为∠ AOC和∠ BOD是对顶角，

所以∠ AOC=∠ BOD= 28°.

所以∠ AOM=∠ MOC－∠ AOC= 90°－ 28°= 62°.

因为 OA平分∠ MOE，

所以∠ AOE=∠ AOM= 62°.

所以∠ BOE= 180°－ 62°= 118°.

所以∠ COE=∠ AOE -∠ AOC= 62°－ 28°= 34°.

二、利用对顶角的性质来说理

例 3如图 4所示，已知直线 AB与 CD相交点 O， OE、 OF分别是∠ AOC、∠ BOD的平分线．试说明：射线 OE、 OF在同一直线上．

分析：要说明 OE、 OF在同一直线上，只要说明∠ EOF是一个平角，即说明∠ EOA+∠ AOD+∠ DOF= 180º，可根据对顶角的性质及角平分线的性质求解．

解：因为∠ AOC与∠ BOD是对顶角，

所以∠ AOC=∠ BOD．

又因为 OE平分∠ AOC， OF平分∠ BOD，

所以∠ EOC=∠ AOC，∠ DOF=∠ BOD．

所以∠ EOC=∠ DOF．

又因为 C、 O、 D在同一条直线上，

所以∠ EOC+∠ EOA+∠ DOF= 180º，

所以∠ EOA+∠ AOD+∠ DOF= 180º，

即∠ EOF= 180º，故 E、 O、 F在同一直线上，

即射线 OE、 OF在同一直线上．

小小练兵场：

1.如图,已知直线 AB、 CD、 EF相交于点 O，∠ 1= 20°，∠ BOC= 90°.求∠ 2的度数.

2.如图,已知直线 AB、 CD相交于点 0， OE、 OF分别是∠ AOC、∠ BOD的平分线。求∠ AOE+∠ DOF+∠ AOD的度数。

参考答案：

1.观察图形易知∠ 2和∠ BOF是邻补角，∠ 1与∠ 3是对顶角，

根据对顶角相等，邻补角互补可得∠ 3=∠ 1= 20°，∠ 2+∠ BOF= 180°.

因为∠ BOD= 90°，

所以∠ BOF=∠ 3+∠ BOD= 110°，

所以∠ 2= 180° -∠ BOF= 70°.

2.因为 OE、 OF分别是∠ AOC、∠ BOD的平分线，

所以∠ A 0 E=∠ E 0 C，∠ DOF=∠ BOF.

观察图形知，∠ AOD与∠ BOC是对顶角，

根据对顶角相等，得∠ AOD=∠ BOC，

所以∠ AOE+∠ AOD+∠ D 0 F=∠ EOC+∠ BOC+∠ BOF=× 360°= 180°.