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蚂蚁怎样走最近

一些几何体上两点之间最短路程的求解

在这里我们主要讨论两种情况:圆柱体上两点之间最短路程的求法;长方体、正方体不同面上两点之间最短路程的求法.它们的解题思想都是将立体图形展开成平面图形,然后依据两点之间线段最短确定最短路线,最后以最短路线为边构造直角三角形,利用勾股定理求解.

典型例题

1、如图,有一个圆柱,它的高等于 12厘米,底面半径等于 3厘米.在圆柱的底面 A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与 A点相对的 B点处的食物,需要爬行的的最短路程是多少?(π的值取 3).

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分析:展开圆柱的半个侧面是矩形;

矩形的长是圆柱的底面周长的一半,即 3π= 9

矩形的宽是圆柱的高 12

根据两点之间线段最短,

所以最短路程是 15厘米。

2、有一长方体纸盒,如图所示,小明所在的数学兴趣小组研究由长方体的底面 A点到长方体中与 A点相对的 B点最短距离.若长方体的底面边长为 12,宽为 9,高为 5,请你帮助该小组求出由 AB的最短距离(

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分析:展开后就三种情况比较哪种距离最短,从而求解)

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变式练习:

1.甲、乙两位探险者,到沙漠进行探险.某日早晨 8:00甲先出发,他以 6千米/时的速度向东行走. 1时后乙出发,他以 5千米/时的速度向北行进.上午 10:00,甲、乙两人相距多远?

分析:首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型

解:如图,根据题意,可知 A是甲、乙的出发点, 10:00时甲到达 B点,则 AB2× 612(千米);乙到达 C点,则 AC1× 55(千米).

RtABC中, BC 2AC 2+ AB 25 2+ 12 216913 2,所以 BC13千米.

即甲、乙两人相距 13千米.

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2.如图,有一个高 1.5米,半径是 1米的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分是 0.5米,问这根铁棒应有多长?

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分析:从题意可知,没有告诉铁棒是如何插入油桶中,因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度,所以铁棒最长时,是插入至底部的 A点处,铁棒最短时是垂直于底面时.

解:设伸入油桶中的长度为 x米,则应求最长时和最短时的值.

( 1) x 21.5 2+ 2 2x 26.25x2.5

所以最长是 2.5+ 0.53(米).

( 2) x1.5,最短是 1.5+ 0.52(米).

答:这根铁棒的长应在 2~ 3米之间(包含 2米、 3米).

3.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为 10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面 1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少?

解:如图,设水深为 x尺,则芦苇长为( x+ 1)尺,由勾股定理可求得

( x+ 1) 2x 2+ 5 2x 2+ 2 x+ 1x 2+ 25

解得 x12

则水池的深度为 12尺,芦苇长 13尺.

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