三角形的角平分线是三角形中的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么，如何利用三角形的角平分线解题呢？

典型例题：

例 1、如图， AB∥ CD， BE平分∠ ABC， CE平分∠ BCD，点 E在 AD上，求证： BC＝ AB＋ CD

分析：利用角平分线来构造全等三角形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截长补短。

证明：

方法 1、

在 BC上取一点 F，使 AB＝ BF，连接 EF．

∵ BE平分∠ ABC

∴∠ ABE＝∠ FBE

在△ ABE和△ FBE中

∴△ ABE≌△ FBE

∴ AE＝ EF，∠ A＝∠ EFB

∵点 E是 AD的中点

∴ AE＝ ED

∴ ED＝ EF

∵∠ EFC＋∠ EFB＝ 180°

∵ AB∥ CD

∴∠ A＋∠ D＝ 180°

∴∠ EFC＝∠ D

∵ CE平分∠ DCF

∴∠ ECD＝∠ ECF

在△ EFC和△ EDC

∴△ EFC≌△ EDC

∴ DC＝ FC

∵ BC＝ BF＋ FC

∴ BC＝ AB＋ CD

方法 2、

延长 BE、 CD交于点 H．

∵ AB∥ CD

∴ AB∥ CH

∴∠ ABH＝∠ H

∵ BE平分∠ ABC

∴∠ ABE＝∠ EBC

∴∠ H＝∠ EBC

∴ BC＝ HC

∵点 E是 AD的中点

∴ AE＝ ED

在△ ABE和△ DHE

∴△ ABE≌△ DHE

∴ AB＝ HD

∵ HC＝ HD＋ DC

∴ HC＝ AB＋ DC

∴ BC＝ AB＋ DC

变式练习：

如图，在△ ABC中，∠ A＝ 90⁰， AB＝ AC，∠ ABD＝∠ CBD．求证： BC＝ AB＋ AD．

分析：过 D作 DE⊥ BC于 E，则 AD＝ DE＝ CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。