知识解读:
垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线,它具有如下重要的性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
学习了这个性质后,要注意灵活应用它来解答一些“垂直平分线”条件的证明和求值问题.现举例如下
解题指导:
体验一:求角的度数
例 1、( 2015年四川省达州市中考试题)如图 1,在△ ABC中, BD平分∠ ABC, BC的垂直平分线交 BC于点 E,交 BD于点 F,连接 CF.若∠ A= 60°,∠ ABD= 24°,则∠ ACF的度数为().
A. 48° B. 36° C. 30° D. 24°
解析:因为 BD平分∠ ABC,所以∠ DBC=∠ ABD= 24°,
因为∠ A= 60°,所以∠ ACB= 180°﹣ 60°﹣ 24°× 2= 72°.
因为 BC的中垂线交 BC于点 E,
所以 BF= CF.所以∠ FCB= 24°.
所以∠ ACF= 72°﹣ 24°= 48°.
故选 A.
体验二:求线段长度
例 2、( 2015年四川省遂宁市中考试题)如图 2,在△ ABC中, AC= 4 cm,线段 AB的垂直平分线交 AC于点 N,△ BCN的周长是 7 cm,则 BC的长为().
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
解析:因为 MN是线段 AB的垂直平分线,所以 AN= BN.
因为△ BCN的周长是 7 cm,所以 BN+ NC+ BC= 7( cm).
所以 AN+ NC+ BC= 7( cm).
因为 AN+ NC= AC,所以 AC+ BC= 7( cm).
因为 AC= 4 cm,所以 BC= 7﹣ 4= 3( cm).
故选 C.
体验三:求三角形周长
例 3、( 2015年湖北省随州市中考试题)如图 3,在△ ABC中, AB= 5, AC= 6, BC= 4,边 AB的垂直平分线交 AC于点 D,则△ BDC的周长是().
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
解析:因为 ED是 AB的垂直平分线,所以 AD= BD,
因为△ BDC的周长= DB+ BC+ CD,
所以△ BDC的周长= AD+ BC+ CD= AC+ BC= 6+ 4= 10.
故选 C.
体验四:证明线段和差相等
例 4、如图 4,在△ ABC中,∠ ACB= 90゜, BE平分∠ ABC,交 AC于点 E, DE垂直平分 AB于点 D.求证: BE+ DE= AC.
证明:因为∠ ACB= 90°,所以 AC⊥ BC.
因为 ED⊥ AB, BE平分∠ ABC,
所以 CE= DE.
因为 DE垂直平分 AB,所以 AE= BE.
因为 AC= AE+ CE,所以 BE+ DE= AC.
小试牛刀:
练习 1.如图,∠ ABC= 50°, AD垂直平分线段 BC于点 D,∠ ABC的平分线 BE交 AD于点 E,连接 EC,则∠ AEC的度数等于______.
练习 2.如图,△ ABC中, DE是 AC边的垂直平分线,交 AC边于点 E,交 BC边于点 D,且 AE= 3,△ ABD的周长为 13,则 AB+ BC+ AC的值为().
( A) 16( B) 19( C) 22( D) 25
参考答案:
1. 115°.
提示:因为 AD是 BC的垂直平分线上,
所以 EB= EC.所以∠ C=∠ EBC.
因为 BE平分∠ ABC,所以∠ EBC=∠ ABC= 25°.
所以∠ C= 25°.
因为∠ EDC= 90°,所以∠ CED= 90°-∠ C= 65°.
所以∠ AEC= 180°-∠ CED= 115°.
2. B
提示:因为 DE是 AC边的垂直平分线,所以 AD= CD.
因为 AB+ BD+ AD= 13,所以 AB+ BD+ CD= 13.
因为 BD+ CD= BC,所以 AB+ BC= 13.
因为点 E是 AC边的中点,所以 AC= 2 AE= 6.
所以 AB+ BC+ AC= 19。