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线段垂直平分线性质的四大体验

知识解读:

垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线,它具有如下重要的性质:

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

学习了这个性质后,要注意灵活应用它来解答一些“垂直平分线”条件的证明和求值问题.现举例如下

解题指导:

体验一:求角的度数

1、( 2015年四川省达州市中考试题)如图 1,在△ ABC中, BD平分∠ ABCBC的垂直平分线交 BC于点 E,交 BD于点 F,连接 CF.若∠ A= 60°,∠ ABD= 24°,则∠ ACF的度数为().

A. 48° B. 36° C. 30° D. 24°

菁优网:http://www.jyeoo.com

解析:因为 BD平分∠ ABC,所以∠ DBC=∠ ABD= 24°,

因为∠ A= 60°,所以∠ ACB= 180°﹣ 60°﹣ 24°× 2= 72°.

因为 BC的中垂线交 BC于点 E

所以 BF= CF.所以∠ FCB= 24°.

所以∠ ACF= 72°﹣ 24°= 48°.

故选 A

体验二:求线段长度

2、( 2015年四川省遂宁市中考试题)如图 2,在△ ABC中, AC= 4 cm,线段 AB的垂直平分线交 AC于点 N,△ BCN的周长是 7 cm,则 BC的长为().

A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm

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解析:因为 MN是线段 AB的垂直平分线,所以 AN= BN.

因为△ BCN的周长是 7 cm,所以 BN+ NC+ BC= 7cm).

所以 AN+ NC+ BC= 7cm).

因为 AN+ NC= AC,所以 AC+ BC= 7cm).

因为 AC= 4 cm,所以 BC= 74= 3cm).

故选 C

体验三:求三角形周长

3、( 2015年湖北省随州市中考试题)如图 3,在△ ABC中, AB= 5AC= 6BC= 4,边 AB的垂直平分线交 AC于点 D,则△ BDC的周长是().

A8 B9 C10 D11

菁优网:http://www.jyeoo.com

解析:因为 EDAB的垂直平分线,所以 AD= BD

因为△ BDC的周长= DB+ BC+ CD

所以△ BDC的周长= AD+ BC+ CD= AC+ BC= 6+ 4= 10

故选 C

体验四:证明线段和差相等

4、如图 4,在△ ABC中,∠ ACB= 90゜, BE平分∠ ABC,交 AC于点 EDE垂直平分 AB于点 D.求证: BE+ DE= AC.

证明:因为∠ ACB= 90°,所以 ACBC.

因为 EDABBE平分∠ ABC

所以 CE= DE.

因为 DE垂直平分 AB,所以 AE= BE.

因为 AC= AE+ CE,所以 BE+ DE= AC

小试牛刀:

练习 1.如图,∠ ABC50°, AD垂直平分线段 BC于点 D,∠ ABC的平分线 BEAD于点 E,连接 EC,则∠ AEC的度数等于______.

练习 2.如图,△ ABC中, DEAC边的垂直平分线,交 AC边于点 E,交 BC边于点 D,且 AE3,△ ABD的周长为 13,则 ABBCAC的值为().

A16B19C22D25

参考答案:

1. 115°.

提示:因为 ADBC的垂直平分线上,

所以 EBEC.所以∠ C=∠ EBC.

因为 BE平分∠ ABC,所以∠ EBCABC25°.

所以∠ C25°.

因为∠ EDC90°,所以∠ CED90°-∠ C65°.

所以∠ AEC180°-∠ CED115°.

2. B

提示:因为 DEAC边的垂直平分线,所以 ADCD.

因为 ABBDAD13,所以 ABBDCD13.

因为 BDCDBC,所以 ABBC13.

因为点 EAC边的中点,所以 AC2 AE6.

所以 ABBCAC19