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群星璀璨助阵切线的判定

在研究切线的判定时,常常通过全等三角形、平行线、角平分线的性质等进行角、线段间的转化.解题时要注意各知识点间的相互联系,这样往往使解题过程更加简洁流畅.

一、角平分线的性质助阵切线的判定

1、如图 1,在 RtABC中,∠ ACB90°.

1)先作∠ ABC的平分线交 AC边于点 O,再以点 O为圆心, OC为半径作⊙ O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);

2)请你判断( 1)中 AB与⊙ O的位置关系,并证明你的结论.

诺诺的分析:( 1)根据角平分线的作法画出角平分线 BO;( 2)由于未知直线 AB与⊙ O是否存在公共点,故欲判定 AB是⊙ O的切线,需需利用性质 dr,即判定点 OAB的距离= OE进行判定.

解:( 1)画图如图 2所示.

2AB与⊙ O相切.

证明:过点 OODAB于点 D,如图 2

BO平分∠ ABC,∠ ACB90°, ODAB

ODOC.AB与⊙ O相切.

二、平行线的性质助阵切线的判定

2、如图 3,在△ ABC中,∠ C90°,∠ ABC的平分线交 AC于点 E,过点 EBE的垂线交 AB于点 F,⊙ O是△ BEF的外接圆.

1)求证: AC是⊙ O的切线.

2)过点 EEHAB于点 H. 求证: CDHF

诺诺的分析:( 1)连接 OE,欲证 AC是⊙ O的切线,只需证明∠ AEO90°,而∠ C90°,从而只需证明 OEBC;( 2)连结 DE,先根据 AAS证明△ CDE≌△ HFE,再由全等三角形的对应边相等即可得出 CDHF

解:( 1)如图 4,连接 OE

BE平分∠ ABC,∴∠ CBE=∠ OBE

OBOE,∴∠ OBE=∠ OEB.

∴∠ OEB=∠ CBE.OEBC.

∴∠ AEO=∠ C90°.AC是⊙ O的切线.

2)如 ,4,连结 DE

∵∠ CBE=∠ OBEECBC于点 CEHAB于点 H,∴ ECEH

∵∠ CDE+∠ BDE180°,∠ HFE+∠ BDE180°,∴∠ CDE=∠ HFE

∴△ CDE≌△ HFEAAS).CDHF

三、三角形全等助阵切线的判定

3、如图 5RtABC中,∠ ABC90°,以 AB的中点 O为圆心、 OA长为半径作半圆,交 AC于点 D.点 EBC的中点,连接 DE

1)求证: DE是该半圆的切线;

2)若∠ BAC30°, DE2,求 AD的长.

诺诺的分析:( 1)欲证 DE是该半圆的切线,只需证明∠ ODE90°,考虑连接 OE.可通过证明△ OBE≌△ ODE,从而有∠ ODE=∠ ABC90°;( 2)由图知 ADACDC.问题转化为求 ACDC

解:( 1)证明:如图 6,连接 ODOEBD

AB为半圆的直径,∴∠ ADB=∠ BDC90°.

RtBDC中, E为斜边 BC的中点,∴ DEBE

因为 OBODOEOE,∴△ OBE≌△ ODESSS).

∴∠ ODE=∠ ABC90°.∴ DE为半圆的切线.

2)在 RtABC中,∠ BAC30°,∴ BC0.5 AC

BC2 DE4,∴ AC8

∵∠ C60°, DEEC

∴△ DEC为等边三角形,即 DCDE2.则 ADACDC6

小试牛刀:

如图 7,在△ ABC中,以 AC为直径作⊙ OBC于点 D,交 AB于点 G,且 DBC中点, DEAB,垂足为 E,交 AC的延长线于点 F

1)求证:直线 EF是⊙ O的切线;

2)若 CF5cosA,求 BE的长.

参考答案:

解:( 1)如图 8,连结 OD

CDDBCOOA,∴ OD是△ ABC的中位线.

ODABAB2 OD

DEAB

DEOD,即 ODEF.

∴直线 EF是⊙ O的切线.

2)∵ ODAB,∴∠ COD=∠ A

设⊙ O的半径为 R,在 RtDOF中, cosFOD,解得 R.

AB 2 OD

RtAEF中, cosA,∴ AE

BEABAE=2