在研究切线的判定时,常常通过全等三角形、平行线、角平分线的性质等进行角、线段间的转化.解题时要注意各知识点间的相互联系,这样往往使解题过程更加简洁流畅.
一、角平分线的性质助阵切线的判定
例 1、如图 1,在 Rt△ ABC中,∠ ACB= 90°.
( 1)先作∠ ABC的平分线交 AC边于点 O,再以点 O为圆心, OC为半径作⊙ O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
( 2)请你判断( 1)中 AB与⊙ O的位置关系,并证明你的结论.
诺诺的分析:( 1)根据角平分线的作法画出角平分线 BO;( 2)由于未知直线 AB与⊙ O是否存在公共点,故欲判定 AB是⊙ O的切线,需需利用性质 d= r,即判定点 O到 AB的距离= OE进行判定.
解:( 1)画图如图 2所示.
( 2) AB与⊙ O相切.
证明:过点 O作 OD⊥ AB于点 D,如图 2.
∵ BO平分∠ ABC,∠ ACB= 90°, OD⊥ AB,
∴ OD= OC.∴ AB与⊙ O相切.
二、平行线的性质助阵切线的判定
例 2、如图 3,在△ ABC中,∠ C= 90°,∠ ABC的平分线交 AC于点 E,过点 E作 BE的垂线交 AB于点 F,⊙ O是△ BEF的外接圆.
( 1)求证: AC是⊙ O的切线.
( 2)过点 E作 EH⊥ AB于点 H. 求证: CD= HF.
诺诺的分析:( 1)连接 OE,欲证 AC是⊙ O的切线,只需证明∠ AEO= 90°,而∠ C= 90°,从而只需证明 OE∥ BC;( 2)连结 DE,先根据 AAS证明△ CDE≌△ HFE,再由全等三角形的对应边相等即可得出 CD= HF.
解:( 1)如图 4,连接 OE.
∵ BE平分∠ ABC,∴∠ CBE=∠ OBE.
∵ OB= OE,∴∠ OBE=∠ OEB.
∴∠ OEB=∠ CBE.∴ OE∥ BC.
∴∠ AEO=∠ C= 90°.∴ AC是⊙ O的切线.
( 2)如 ,4,连结 DE.
∵∠ CBE=∠ OBE, EC⊥ BC于点 C, EH⊥ AB于点 H,∴ EC= EH.
∵∠ CDE+∠ BDE= 180°,∠ HFE+∠ BDE= 180°,∴∠ CDE=∠ HFE.
∴△ CDE≌△ HFE( AAS).∴ CD= HF.
三、三角形全等助阵切线的判定
例 3、如图 5, Rt△ ABC中,∠ ABC= 90°,以 AB的中点 O为圆心、 OA长为半径作半圆,交 AC于点 D.点 E为 BC的中点,连接 DE.
( 1)求证: DE是该半圆的切线;
( 2)若∠ BAC= 30°, DE= 2,求 AD的长.
诺诺的分析:( 1)欲证 DE是该半圆的切线,只需证明∠ ODE= 90°,考虑连接 OE.可通过证明△ OBE≌△ ODE,从而有∠ ODE=∠ ABC= 90°;( 2)由图知 AD= AC- DC.问题转化为求 AC, DC.
解:( 1)证明:如图 6,连接 OD, OE, BD.
∵ AB为半圆的直径,∴∠ ADB=∠ BDC= 90°.
在 Rt△ BDC中, E为斜边 BC的中点,∴ DE= BE.
因为 OB= OD, OE= OE,∴△ OBE≌△ ODE( SSS).
∴∠ ODE=∠ ABC= 90°.∴ DE为半圆的切线.
( 2)在 Rt△ ABC中,∠ BAC= 30°,∴ BC= 0.5 AC.
∵ BC= 2 DE= 4,∴ AC= 8.
∵∠ C= 60°, DE= EC,
∴△ DEC为等边三角形,即 DC= DE= 2.则 AD= AC- DC= 6.
小试牛刀:
如图 7,在△ ABC中,以 AC为直径作⊙ O交 BC于点 D,交 AB于点 G,且 D是 BC中点, DE⊥ AB,垂足为 E,交 AC的延长线于点 F.
( 1)求证:直线 EF是⊙ O的切线;
( 2)若 CF= 5, cos∠ A=,求 BE的长.
参考答案:
解:( 1)如图 8,连结 OD.
∵ CD= DB, CO= OA,∴ OD是△ ABC的中位线.
∴ OD∥ AB, AB= 2 OD.
∵ DE⊥ AB,
∴ DE⊥ OD,即 OD⊥ EF.
∴直线 EF是⊙ O的切线.
( 2)∵ OD∥ AB,∴∠ COD=∠ A.
设⊙ O的半径为 R,在 Rt△ DOF中, cos∠ FOD==,解得 R=.
∴ AB= 2 OD=.
在 Rt△ AEF中, cos∠ A==,∴ AE=.
∴ BE= AB- AE=-= 2.