1955年,卡普耶卡( D. R. Kaprekar)研究了对四位数的一种变换:任给出四位数 k 0,用它的四个数字由大到小重新排列成一个四位数 m,再减去它的反序数 rev (m),得出数 k 1= m-rev (m),然后,继续对 k 1重复上述变换,得数 k 2.如此进行下去,卡普耶卡发现,无论 k 0是多大的四位数,

只要四个数字不全相同,最多进行 7次上述变换,就会出现四位数 6174.例如:

k 0= 5298, k 1= 9852-2589= 7263, k 2= 7632-2367= 5265, k 3= 6552-2556= ANOAHDIGITAL 10,

k 4= 9963-3699= 6264, k 5= 6642-2466= 4176, k 6= 7641-1467= 6174.

后来,这个问题就流传下来,人们称这个问题为" 6174问题",上述变换称为卡普耶卡变换,简称 K变换.

一般地,只要在 0,1,2,... ,9中任取四个不全相等的数字组成一个整数 k 0(不一定是四位数),然后从 k 0开始不断地作 K变换,得出数 k 1, k 2, k 3,...,则必有某个 m( m=< 7),使得 km= 6174.

更一般地,从 0,1,2,... ,9中任取 n个不全相同的数字组成一个十进制数 k 0(不一定是 n位数),然后,从 k 0开始不断地做 K变换,得出 k 1, k 2,...,那么结果会是怎样的呢现在已经知道的是:

n= 2,只能形成一个循环:( 27,45,09,81,63).例如取两个数字 7与 3,连续不断地做 K变换,得出 :36,27,45,09,81,27,...出现循环

n= 3,只能形成一个循环:( 495).

n= 4,只能形成一个循环:( 6174).

n= 5,已经发现三个循环:( 53855,59994),( 62964,71973,83952,74943),( 63954,61974,82962,75933).

n= 6,已经发现三个循环:( 642654,...),( 631764,...),( 549945,...)

n= 7,已经发现一个循环:( 8719722,...)

n= 8,已经发现四个循环:( 63317664),( 97508421),( 83208762,...),( 86308632,...)

n= 9,已经发现三个循环:( 864197532),( 975296421,...),( 965296431,...)

容易证明,对于任何自然数 n≥ 2,连续做 K变换必定要形成循环.这是因为由 n个数字组成的数只有有限个的缘故.但是对于 n≥ 5,循环的个数以及循环的长度(指每个循环中所包含数的个数)尚不清楚,这也是国内一些数学爱好者热衷于研究的一个课题.