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完全数的前世今生

公元前 3世纪时,古希腊数学家对数字情有独钟。他们在对数的因数分解中,发现了一些奇妙的性质,如有的数的真因数之和彼此相等,于是诞生了亲和数;而有的真因数之和居然等于自身,于是发现了完全数。 6是人们最先认识的完全数。

发现完全数

研究数字的先师毕达哥拉斯发现 6的真因数 123之和还等于 6,他十分感兴趣地说:“ 6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身。

古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。

约公元前 300年,几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法,被誉为欧几里得定理:“如果 2 n1是一个素数,那么自然数 2 n -1一定是一个完全数。”并给出了证明。

公元 1世纪,毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中,正确地给出了 6284968128这四个完全数,并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类:富裕数、不足数和完全数,其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。

千年跨一步

完全数在古希腊诞生后,吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。可是,一代又一代人付出了无数的心血,第五个完全数没人找到。

后来,由于欧洲不断进行战争,希腊、罗马科学逐渐衰退,一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国,从此,希腊、罗马文明一蹶不振。

直到 1202年才出现一线曙光。意大利的斐波那契,青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区,学到了不少数学知识。他才华横溢,回国后潜心研究所搜集的数学,写出了名著《算盘书》,成为 13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人,并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契没有放过完全数的研究,他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则,可惜没有人共鸣,成为过眼烟云。

光阴似箭, 1460年,还当人们迷惘之际,有人偶然发现在一位无名氏的手稿中,竟神秘地给出了第五个完全数 33550336这比起第四个完全数 8128大了 4000多倍。跨度如此之大,在计算落后的古代可想发现者之艰辛了,但是,手稿里没有说明他用什么方法得到的,又没有公布自己的姓名,这更使人迷惑不解了。

发现非一帆风顺

在无名氏成果鼓励下, 1519世纪是研究完全数不平凡的日子,其中 17世纪出现了小高潮。

16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头,落下了口吃的疾患,后来靠自学成为一位著名数学家。他研究发现:当 n2n= 339的奇数时, 2 n -1( 2 n -1)是完全数。

17世纪“神数术”大师庞格斯在一本洋洋 700页的巨著《数的玄学》中,一口气列出了 28个所谓“完全数”,他是在塔塔利亚给出的 20个的基础上补充了 8个。可惜两人都没有给出证明和运算过程,后人发现其中有许多是错误的。

1603年,数学家克特迪历尽艰辛,终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的,同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数 216( 217-1)和 218( 219-1),但他又错误地认为 222( 223-1)、 228229-1)和 236ANOAHDIGITAL 10)也是完全数。这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了。