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勾股定理易错点展示窗

一、因思维定势不注意正确使用定理致错

1在△中,∠= 90°,是∠,∠,∠的对边,若= 3,= 4,求的值

错解:根据勾股定理,得.

诺诺的剖析:错解中没有判断出哪条边是斜边就想当然地认为 c一定是斜边长,而错用其实,本题中,是斜边,所以应根据来求解

正解:∵∠= 90°,∴是斜边

∴由勾股定理,得,故.

所以=.

舟舟的点评:在运用勾股定理时,要正确分析题目所给的条件,不要习惯性地认为“”就是斜边而“固执”地运用公式其实,同样是△,∠不一定就等于 90°,不一定就是斜边,△不一定就是直角三角形

二、在非直角三角形中直接运用勾股定理而致错

2在△中,是∠,∠,∠的对边,= 3,= 4为质数,求的值

错解:根据勾股定理,得.

诺诺的剖析:出错的原因是在非直角三角形中直接运用勾股定理 只有在直角三角形中,“勾 345”才是成立的,但本题条件中并没有说△是直角三角形,故本题要用一般三角形三边之间的关系来解

正解:由三角形三边之间的关系,得,即 17.

为质数,∴= 2= 3= 5.

舟舟的点评:勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形因此,解题时一定要认真分析题目所给条件,看是否可用勾股定理求解

三、忽视勾股定理的使用前提是直角三角形

3如图,在中,边上的中线求证:

错解:∵边上的中线,∴.

,∴在△ ADC中,由勾股定理,得=

,∴

诺诺的剖析:由于受题目、结论及图形的影响,不少同学在没有进行推证说明,就先行认为是直角三角形,忽视了运用勾股定理的前提,犯了循环论证的错误.

正解:∵边上的中线,∴

, 且有,即

是直角三角形,即

∴在中,由勾股定理,

舟舟的点评:直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的,区别在于勾股定理的运用是一个从“形”(一个三角形是直角三角形)到“数”()的过程,而直角三角形的判定是一个从“数”(一个三角形的三边满足的条件)到“形”(这个三角形是直角三角形)的过程

小小练兵场:

练习:今天老师布置了一道作业:已知△ ABC的各边长均为整数,且 AB3BC4ACBC,求△ ABC的周长.下面是舟舟的答案:

解:由勾股定理,得 AC 2AB 2BC 23 24 225AC5.

故△ ABC的周长为 ABBCAC43512.

可是诺诺却说舟舟做错了亲爱的同学,请你帮帮舟舟指出错误的原因并写出正确的答案

解:错误的原因是:应用勾股定理的前提条件是“在直角三角形中”,而本题并没有指明△ ABC是直角三角形,因此不能利用勾股定理而用三角形三条边关系求解.

正解:根据三角形的三边关系,得 ABBCACABBC,即 1AC7.

ACBCAC为整数,∴ AC长为 56.

∴当 AC5时,△ ABC的周长为 12

AC6时,△ ABC的周长为 13.