一、因思维定势不注意正确使用定理致错
例 1在△中,∠= 90°,,,是∠,∠,∠的对边,若= 3,= 4,求的值
错解:根据勾股定理,得故.
诺诺的剖析:错解中没有判断出哪条边是斜边就想当然地认为 c一定是斜边长,而错用其实,本题中,是斜边,所以应根据来求解
正解:∵∠= 90°,∴是斜边
∴由勾股定理,得,故.
所以=.
舟舟的点评:在运用勾股定理时,要正确分析题目所给的条件,不要习惯性地认为“”就是斜边而“固执”地运用公式其实,同样是△,∠不一定就等于 90°,不一定就是斜边,△不一定就是直角三角形
二、在非直角三角形中直接运用勾股定理而致错
例 2在△中,,,是∠,∠,∠的对边,= 3,= 4,为质数,求的值
诺诺的剖析:出错的原因是在非直角三角形中直接运用勾股定理 只有在直角三角形中,“勾 3股 4弦 5”才是成立的,但本题条件中并没有说△是直角三角形,故本题要用一般三角形三边之间的关系来解
正解:由三角形三边之间的关系,得<<,即 1<< 7.
∵为质数,∴= 2或= 3或= 5.
舟舟的点评:勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形因此,解题时一定要认真分析题目所给条件,看是否可用勾股定理求解
三、忽视勾股定理的使用前提是直角三角形
例 3如图,在中,,,边上的中线求证:.
错解:∵是边上的中线,∴.
∵,∴在△ ADC中,由勾股定理,得=.
∵,∴.
诺诺的剖析:由于受题目、结论及图形的影响,不少同学在没有进行推证说明,就先行认为是直角三角形,忽视了运用勾股定理的前提,犯了循环论证的错误.
正解:∵是边上的中线,∴.
∵,, 且有,即,
∴是直角三角形,即.
∴在中,由勾股定理,.
∴.
舟舟的点评:直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的,区别在于勾股定理的运用是一个从“形”(一个三角形是直角三角形)到“数”()的过程,而直角三角形的判定是一个从“数”(一个三角形的三边满足的条件)到“形”(这个三角形是直角三角形)的过程
小小练兵场:
练习:今天老师布置了一道作业:已知△ ABC的各边长均为整数,且 AB= 3, BC= 4, AC> BC,求△ ABC的周长.下面是舟舟的答案:
解:由勾股定理,得 AC 2= AB 2+ BC 2= 3 2+ 4 2= 25, AC= 5.
故△ ABC的周长为 AB+ BC+ AC= 4+ 3+ 5= 12.
可是诺诺却说舟舟做错了亲爱的同学,请你帮帮舟舟指出错误的原因并写出正确的答案
解:错误的原因是:应用勾股定理的前提条件是“在直角三角形中”,而本题并没有指明△ ABC是直角三角形,因此不能利用勾股定理而用三角形三条边关系求解.
正解:根据三角形的三边关系,得 AB- BC< AC< AB+ BC,即 1< AC< 7.
∵ AC> BC, AC为整数,∴ AC长为 5或 6.
∴当 AC= 5时,△ ABC的周长为 12;
当 AC= 6时,△ ABC的周长为 13.