在解决有关图形翻折的问题时，适时地应用勾股定理，可以起到事半功倍的效果，现举例说明如下，供同学们学习时参考

一、三角形中的翻折

例 1如图 1，在 Rt△ ABC中，∠ B= 90°， AB= 3， BC= 4，将△ ABC折叠，使点 B恰好落在斜边 AC上，与点 B′重合， AE为折痕，则 EB′的长为.

诺诺的分析：由折叠的性质可得 BE= EB′， AB′= AB= 3.设 BE= EB′= x，则 EC= 4 - x.在 Rt△ ABC中，由勾股定理可求得 AC的值.在 Rt△ B′ EC中，由勾股定理列方程即可求得 EB′的长.

舟舟的解：根据折叠，得 BE= EB′， AB′= AB= 3.

设 BE= EB′= x，则 EC= 4 - x.

在 Rt△ ABC中， AB= 3， BC= 4，由勾股定理，得 AC=== 5.

∴ B′ C= 5-3= 2.

在 Rt△ B′ EC中，由勾股定理，得 x²+ 2²=( 4 - x)²解得 x= 1.5.

故填 1.5．

二、四边形中的翻折

例 2( 2015年江苏省泰州市中考试题)如图 2，在长方形 ABCD中， AB= 8， BC= 6， P为 AD上一点，将△ ABP沿 BP翻折至△ EBP， PE与 CD相交于点 O，且 OE= OD，则 AP的长为_______.

诺诺的分析：由折叠的性质得 EP= AP，∠ E=∠ A= 90°， BE= AB= 8.再证明△ ODP≌△ OEG，得出 OP= OG， PD= GE.设 AP= EP= x，设法表示出 PD， DG， CG， BG的长.在 Rt△ BCG中，根据勾股定理列出方程，解方程即可得出 AP的长．

舟舟的解：∵四边形 ABCD是长方形，

∴∠ D=∠ A=∠ C= 90°， AD= BC= 6， CD= AB= 8.

根据图形的折叠，得 EP= AP，∠ E=∠ A= 90°， BE= AB= 8.

在△ ODP和△ OEG中，

∴△ ODP≌△ OEG. ∴ OP= OG， PD= GE.

∴ OP+ OE= OD+ OG，即 DG= EP.

设 AP= EP= x，则 PD= GE= 6 - x， DG= x，

∴ CG= 8 - x， BG= 8 -( 6 - x)= 2+ x.

在 Rt△ BCG中，由勾股定理，得 BC²+ CG²= BG²，

即 6²+( 8 - x)²=( x+ 2)² 解得 x= 4.8，即 AP= 4.8.

故填 4.8．

【温馨提示】图形的翻折的实质是图形的全等，解题时要注意寻找出折叠前后的不变量(即相等的线段、相等的角)；应该在图形中寻求最佳的直角三角形，运用勾股定理创设方程模型来解题；有时还得需要作出合理的辅助线来构造直角三角形

小小练兵场：

练习：一张直角三角形的纸片，如图所示折叠，使两个锐角的顶点 A， B重合，若∠ B＝ 30°， AC＝ 3㎝，求 DE的长.

参考答案：

解：根据题意，得∠ DAE＝∠ B＝ 30°，∠ DEA＝ 90°.

∴∠ DAC＝ 60°－ 30°＝ 30°， DE＝ DC.

在 Rt△ DCA中， DC＝ DA.

设 DC＝ x㎝，则 DA＝ 2 x㎝，

在 Rt△ DAC中，根据勾股定理，得 DC²＋ CA²＝ DA²，即 x²＋ 9＝( 2 x)².

∴ x＝ ∴ DE＝ DC＝㎝