三角函数的大小比较,是初中数学的一个重点内容,如何快速比较锐角三角函数的大小呢?现介绍几种三角函数大小比较的方法和技巧
一、同名三角函数大小的比较
同名三角函数大小的比较,要把握它们的增减性:正弦、正切值随角度的增大而增大(可记为正变关系);余弦值随角度的增大而减小(可记为反变关系)
例 1.比较大小:① tan 21°_______ tan 31°;③ cos 21°_______ cos 22°.
分析:①根据锐角的正切函数,函数值随角度的增大而增大,即可确定;②根据锐角的余弦函数,函数值随角度的增大而减小,即可确定.
解:① tan 21°< tan 31°;
② cos 21°> cos 22°.
故填<;>.
诺诺小妙方:本题考查了锐角三角函数的增减性,锐角三角函数的增减性是解题的关键,还要知道正余弦之间的转换方法:一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.
二、同角的三角函数的大小比较
同角的三角函数的大小比较可用下列方法:
当
= 45°时, sin
= cos
, tan
= 1;
当
< 45°时, sin
< cos
, tan
< 1;
当
= 45°时, sin
> cos
, tan
> 1.
例 2三角函数 sin 50°, cos 50°, tan 50°的大小关系是().
A. sin 50°> cos 50°> tan 50° B. tan 50°> cos 50°> sin 50°
C. tan 50°> sin 50°> cos 50° D. cos 50°> tan 50°> sin 50°
分析:首先根据锐角三角函数的定义可知 sin 50°< 1, cos 50°< 1,再由锐角三角函数的增减性可知, tan 50°> tan 45°= 1,从而得出 tan 50°的值最大;然后由互余两角的三角函数的关系得出 cos 50°= sin 40°,又 sin ANOAHDIGITAL 10°> sin ANOAHDIGITAL 11°,从而得出结果.
解:因为 sin 50°< 1, cos 50°< 1, tan 50°> tan 45°= 1,
所以 tan 50°的值最大.
因为 cos 50°= sin 40°, sin 50°> sin 40°,
所以 sin 50°> cos 50°.
所以 tan 50°> sin 50°> cos 50°.
故选 C.
诺诺小妙方:本题主要考查了锐角三角函数的定义及其增减性,互余两角的三角函数的关系.
三、异名又异角的锐角三角函数的大小比较
不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较,可以利用互为余角的锐角三角函数关系,化为同名三角函数后再比较
例 3比较大小 sin 46°_______ cos 43°.
分析:先把 cos 43°转化为 sin 47°,再根据锐角的正弦值随角度的增大而增大判断.
解:因为 cos 43°= sin( 90°− 43°)= sin 47°,
因为 46°< 47°,所以 sin 46°< cos 43°.
故填<.
诺诺小妙方:本题考查了锐角三角函数的增减性,锐角三角函数值的变化规律:正弦值和正切值都是随着角的增大而增大,余弦值和余切值都是随着角的增大而减小,转互为同名函数是解题的关键.
四、利用特殊角的三角函数值比较
例 4.在 Rt△ ABC中,∠ C= 90°, AB= 2 BC,现给出下列结论:① cosB=
;② tanA=
;③ tanB=
,则它们之间的大小关系是用“<”连接起来为______(只需填上正确结论的序号)
分析:先根据题意画出图形,再由直角三角形的性质求出各角的度数,由特殊角的三角函数值即可得出结论.
解:如图所示:因为在 Rt△ ABC中,∠ C= 90°, AB= 2 BC,
所以 sinA=
=
所以∠ A= 30°.所以∠ B= 60°.
所以 cosB= cos 60°=
.
因为∠ A= 30°,所以 tanA= tan 30°=
.
因为∠ B= 60°,所以 tanB= tan 60°=
.
所以
.
故填①<②<③.
诺诺小妙方:本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.
小小练兵场
比较大小:
( 1)
;
( 2)
;
( 3)
;
( 4)
.
参考答案:
1.<
提示:由正弦函数的增减性规律,可知
<
.
2. <
提示:由余弦函数的增减性规律,可知
<
.
3. <
提示:由于
<
,所以
<
.
4. >
提示:化为同名锐角三角函数,得

.
因为
>
,所以
>
.